Bayesian Markov-Chain-Monte-Carlo and Claims Data

using MortalityTables
using Turing
using UUIDs
using DataFramesMeta
using MCMCChains
using CairoMakie
using LinearAlgebra
using Pipe
using StatsFuns

include(joinpath(@__DIR__, "..", "..", "assets", "themes", "cassette_futurism.jl"))
set_theme!(cassette_futurism_theme())

# Small Makie equivalent of StatsPlots' plot(chain): trace + density per
# parameter, one row per parameter, chains overlaid in palette colors.
function chainplot(ch::Chains)
    params = names(ch, :parameters)
    nchains = size(ch, 3)
    fig = Figure(size=(900, 160 * length(params)))
    for (i, p) in enumerate(params)
        ax_t = Axis(fig[i, 1]; title=string(p), xlabel="iteration")
        ax_d = Axis(fig[i, 2]; title="density")
        for c in 1:nchains
            col = CASSETTE_PALETTE[mod1(c, length(CASSETTE_PALETTE))]
            v = vec(Array(ch[:, p, c]))
            lines!(ax_t, v; color=(col, 0.7), linewidth=0.8)
            density!(ax_d, v; color=(col, 0.0),
                strokecolor=col, strokewidth=1.5)
        end
    end
    return fig
end

chainplot (generic function with 1 method)

Generating fake data

The problem of interest is to look at mortality rates, which are given in terms of exposures (whether or not a life experienced a death in a given year).

We’ll grab some example rates from an insurance table, which has a “selection” component: When someone enters observation, say at age 50, their mortality is path dependent (so for someone who started being observed at 50 will have a different risk/mortality rate at age 55 than someone who started being observed at 45).

Addtionally, there may be additional groups of interest, such as: - high/medium/low risk classification - sex - group (e.g. company, data source, etc.) - type of insurance product offered

The example data will start with only the risk classification above

src = MortalityTables.table("2001 VBT Residual Standard Select and Ultimate - Male Nonsmoker, ANB")

MortalityTable (Insured Lives Mortality):
   Name:
       2001 VBT Residual Standard Select and Ultimate - Male Nonsmoker, ANB
   Fields: 
       (:select, :ultimate, :metadata)
   Provider:
       Society of Actuaries
   mort.SOA.org ID:
       1118
   mort.SOA.org link:
       https://mort.soa.org/ViewTable.aspx?&TableIdentity=1118
   Description:
       2001 Valuation Basic Table (VBT) Residual Standard Select and Ultimate Table -  Male Nonsmoker. Basis: Age Nearest Birthday. Minimum Select Age: 0. Maximum Select Age: 99. Minimum Ultimate Age: 25. Maximum Ultimate Age: 120

n = 10_000

function generate_data_individual(tbl, issue_age=rand(50:55), inforce_years=rand(1:30), risklevel=rand(1:3))
    # risk_factors will scale the "true" parameter up or down
    # we observe the assigned risklevel, but not risk_factor
    risk_factors = [0.7, 1.0, 1.5]
    rf = risk_factors[risklevel]
    deaths = rand(inforce_years) .< (tbl.select[issue_age][issue_age.+inforce_years.-1] .* rf)

    endpoint = if sum(deaths) == 0
        last(inforce_years)
    else
        findfirst(deaths)
    end
    id = uuid1()
    map(1:endpoint) do i
        (
            issue_age=issue_age,
            risklevel=risklevel,
            att_age=issue_age + i - 1,
            death=deaths[i],
            id=id,
        )
    end

end

exposures = vcat([generate_data_individual(src) for _ in 1:n]...) |> DataFrame

109200×5 DataFrame

109175 rows omitted

Row	issue_age	risklevel	att_age	death	id
	Int64	Int64	Int64	Bool	Base.UUID
1	55	3	55	false	fa8de42e-5a49-11f1-813b-a1a80a905a2e
2	55	3	56	false	fa8de42e-5a49-11f1-813b-a1a80a905a2e
3	55	3	57	false	fa8de42e-5a49-11f1-813b-a1a80a905a2e
4	55	3	58	false	fa8de42e-5a49-11f1-813b-a1a80a905a2e
5	55	3	59	false	fa8de42e-5a49-11f1-813b-a1a80a905a2e
6	55	3	60	false	fa8de42e-5a49-11f1-813b-a1a80a905a2e
7	55	3	61	false	fa8de42e-5a49-11f1-813b-a1a80a905a2e
8	55	3	62	false	fa8de42e-5a49-11f1-813b-a1a80a905a2e
9	55	3	63	false	fa8de42e-5a49-11f1-813b-a1a80a905a2e
10	55	3	64	false	fa8de42e-5a49-11f1-813b-a1a80a905a2e
11	55	3	65	false	fa8de42e-5a49-11f1-813b-a1a80a905a2e
12	55	3	66	false	fa8de42e-5a49-11f1-813b-a1a80a905a2e
13	55	3	67	false	fa8de42e-5a49-11f1-813b-a1a80a905a2e
⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮
109189	51	2	53	false	fa942dcc-5a49-11f1-9429-7b93bbb44c59
109190	50	1	50	false	fa942dd4-5a49-11f1-86b9-4553439b0ca5
109191	50	1	51	false	fa942dd4-5a49-11f1-86b9-4553439b0ca5
109192	50	1	52	false	fa942dd4-5a49-11f1-86b9-4553439b0ca5
109193	50	1	53	false	fa942dd4-5a49-11f1-86b9-4553439b0ca5
109194	50	1	54	false	fa942dd4-5a49-11f1-86b9-4553439b0ca5
109195	50	1	55	false	fa942dd4-5a49-11f1-86b9-4553439b0ca5
109196	50	1	56	false	fa942dd4-5a49-11f1-86b9-4553439b0ca5
109197	50	1	57	false	fa942dd4-5a49-11f1-86b9-4553439b0ca5
109198	50	1	50	false	fa942de8-5a49-11f1-a5e3-8f2a2bfadbfe
109199	50	1	51	false	fa942de8-5a49-11f1-a5e3-8f2a2bfadbfe
109200	50	1	52	false	fa942de8-5a49-11f1-a5e3-8f2a2bfadbfe

Two groupings, one with and without the risk level:

data = combine(groupby(exposures, [:issue_age, :att_age])) do subdf
    (exposures=nrow(subdf),
        deaths=sum(subdf.death),
        fraction=sum(subdf.death) / nrow(subdf))
end

180×5 DataFrame

155 rows omitted

Row	issue_age	att_age	exposures	deaths	fraction
	Int64	Int64	Int64	Int64	Float64
1	50	50	1643	34	0.0206939
2	50	51	1547	31	0.0200388
3	50	52	1462	40	0.0273598
4	50	53	1380	37	0.0268116
5	50	54	1292	25	0.0193498
6	50	55	1196	25	0.020903
7	50	56	1117	30	0.0268577
8	50	57	1034	29	0.0280464
9	50	58	942	19	0.0201699
10	50	59	871	28	0.032147
11	50	60	800	25	0.03125
12	50	61	721	8	0.0110957
13	50	62	673	26	0.038633
⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮
169	55	73	209	12	0.0574163
170	55	74	168	6	0.0357143
171	55	75	142	7	0.0492958
172	55	76	105	10	0.0952381
173	55	77	68	5	0.0735294
174	55	78	51	5	0.0980392
175	55	79	41	1	0.0243902
176	55	80	31	3	0.0967742
177	55	81	19	3	0.157895
178	55	82	14	2	0.142857
179	55	83	10	0	0.0
180	55	84	4	1	0.25

data2 = combine(groupby(exposures, [:issue_age, :att_age, :risklevel])) do subdf
    (exposures=nrow(subdf),
        deaths=sum(subdf.death),
        fraction=sum(subdf.death) / nrow(subdf))
end

532×6 DataFrame

507 rows omitted

Row	issue_age	att_age	risklevel	exposures	deaths	fraction
	Int64	Int64	Int64	Int64	Int64	Float64
1	50	50	1	547	2	0.00365631
2	50	50	2	516	10	0.0193798
3	50	50	3	580	22	0.037931
4	50	51	1	520	6	0.0115385
5	50	51	2	493	6	0.0121704
6	50	51	3	534	19	0.0355805
7	50	52	1	492	3	0.00609756
8	50	52	2	470	18	0.0382979
9	50	52	3	500	19	0.038
10	50	53	1	476	8	0.0168067
11	50	53	2	439	12	0.0273349
12	50	53	3	465	17	0.0365591
13	50	54	1	455	11	0.0241758
⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮
521	55	80	3	3	0	0.0
522	55	81	1	12	2	0.166667
523	55	81	2	5	0	0.0
524	55	81	3	2	1	0.5
525	55	82	1	8	1	0.125
526	55	82	2	5	1	0.2
527	55	82	3	1	0	0.0
528	55	83	1	6	0	0.0
529	55	83	2	3	0	0.0
530	55	83	3	1	0	0.0
531	55	84	1	1	0	0.0
532	55	84	2	3	1	0.333333

1: A single binomial parameter model

Estimate \(p\), the average mortality rate, not accounting for any variation within the population/sample:

@model function mortality(data, deaths)
    p ~ Beta(1, 1)
    for i = 1:nrow(data)
        deaths[i] ~ Binomial(data.exposures[i], p)
    end
end


m1 = mortality(data, data.deaths)

num_chains = 4

4

Sampling from the posterior

We use a No-U-Turn-Sampler (NUTS) technique to sample multiple chains at once:

chain = MCMCChains.Chains(sample(m1, NUTS(), 1000))

chainplot(chain)

Sampling   0%|                                          |  ETA: N/A
┌ Info: Found initial step size
└   ϵ = 0.0125
Sampling   1%|▎                                         |  ETA: 0:04:59
Sampling   1%|▍                                         |  ETA: 0:02:39
Sampling   2%|▋                                         |  ETA: 0:01:43
Sampling   2%|▉                                         |  ETA: 0:01:19
Sampling   3%|█▏                                        |  ETA: 0:01:02
Sampling   3%|█▎                                        |  ETA: 0:00:52
Sampling   4%|█▌                                        |  ETA: 0:00:44
Sampling   4%|█▋                                        |  ETA: 0:00:39
Sampling   5%|█▉                                        |  ETA: 0:00:34
Sampling   5%|██▏                                       |  ETA: 0:00:31
Sampling   6%|██▍                                       |  ETA: 0:00:28
Sampling   6%|██▌                                       |  ETA: 0:00:25
Sampling   7%|██▊                                       |  ETA: 0:00:23
Sampling   7%|███                                       |  ETA: 0:00:22
Sampling   8%|███▏                                      |  ETA: 0:00:20
Sampling   8%|███▍                                      |  ETA: 0:00:19
Sampling   9%|███▋                                      |  ETA: 0:00:18
Sampling   9%|███▊                                      |  ETA: 0:00:17
Sampling  10%|████                                      |  ETA: 0:00:16
Sampling  10%|████▎                                     |  ETA: 0:00:15
Sampling  11%|████▍                                     |  ETA: 0:00:14
Sampling  11%|████▋                                     |  ETA: 0:00:13
Sampling  12%|████▉                                     |  ETA: 0:00:13
Sampling  12%|█████                                     |  ETA: 0:00:12
Sampling  13%|█████▎                                    |  ETA: 0:00:11
Sampling  13%|█████▌                                    |  ETA: 0:00:11
Sampling  14%|█████▋                                    |  ETA: 0:00:11
Sampling  14%|█████▉                                    |  ETA: 0:00:10
Sampling  15%|██████▏                                   |  ETA: 0:00:10
Sampling  15%|██████▎                                   |  ETA: 0:00:09
Sampling  16%|██████▌                                   |  ETA: 0:00:09
Sampling  16%|██████▊                                   |  ETA: 0:00:09
Sampling  17%|███████                                   |  ETA: 0:00:08
Sampling  17%|███████▏                                  |  ETA: 0:00:08
Sampling  18%|███████▍                                  |  ETA: 0:00:08
Sampling  18%|███████▌                                  |  ETA: 0:00:08
Sampling  19%|███████▊                                  |  ETA: 0:00:07
Sampling  19%|████████                                  |  ETA: 0:00:07
Sampling  20%|████████▎                                 |  ETA: 0:00:07
Sampling  20%|████████▍                                 |  ETA: 0:00:07
Sampling  21%|████████▋                                 |  ETA: 0:00:06
Sampling  21%|████████▉                                 |  ETA: 0:00:06
Sampling  22%|█████████                                 |  ETA: 0:00:06
Sampling  22%|█████████▎                                |  ETA: 0:00:06
Sampling  23%|█████████▌                                |  ETA: 0:00:06
Sampling  23%|█████████▋                                |  ETA: 0:00:06
Sampling  24%|█████████▉                                |  ETA: 0:00:05
Sampling  24%|██████████▏                               |  ETA: 0:00:05
Sampling  25%|██████████▎                               |  ETA: 0:00:05
Sampling  25%|██████████▌                               |  ETA: 0:00:05
Sampling  26%|██████████▊                               |  ETA: 0:00:05
Sampling  26%|██████████▉                               |  ETA: 0:00:05
Sampling  27%|███████████▏                              |  ETA: 0:00:05
Sampling  27%|███████████▍                              |  ETA: 0:00:05
Sampling  28%|███████████▋                              |  ETA: 0:00:04
Sampling  28%|███████████▊                              |  ETA: 0:00:04
Sampling  29%|████████████                              |  ETA: 0:00:04
Sampling  29%|████████████▏                             |  ETA: 0:00:04
Sampling  30%|████████████▍                             |  ETA: 0:00:04
Sampling  30%|████████████▋                             |  ETA: 0:00:04
Sampling  31%|████████████▉                             |  ETA: 0:00:04
Sampling  31%|█████████████                             |  ETA: 0:00:04
Sampling  32%|█████████████▎                            |  ETA: 0:00:04
Sampling  32%|█████████████▌                            |  ETA: 0:00:04
Sampling  33%|█████████████▋                            |  ETA: 0:00:03
Sampling  33%|█████████████▉                            |  ETA: 0:00:03
Sampling  34%|██████████████▏                           |  ETA: 0:00:03
Sampling  34%|██████████████▎                           |  ETA: 0:00:03
Sampling  35%|██████████████▌                           |  ETA: 0:00:03
Sampling  35%|██████████████▊                           |  ETA: 0:00:03
Sampling  36%|██████████████▉                           |  ETA: 0:00:03
Sampling  36%|███████████████▏                          |  ETA: 0:00:03
Sampling  37%|███████████████▍                          |  ETA: 0:00:03
Sampling  37%|███████████████▌                          |  ETA: 0:00:03
Sampling  38%|███████████████▊                          |  ETA: 0:00:03
Sampling  38%|████████████████                          |  ETA: 0:00:03
Sampling  39%|████████████████▏                         |  ETA: 0:00:03
Sampling  39%|████████████████▍                         |  ETA: 0:00:03
Sampling  40%|████████████████▋                         |  ETA: 0:00:03
Sampling  40%|████████████████▊                         |  ETA: 0:00:03
Sampling  41%|█████████████████                         |  ETA: 0:00:03
Sampling  41%|█████████████████▎                        |  ETA: 0:00:03
Sampling  42%|█████████████████▌                        |  ETA: 0:00:02
Sampling  42%|█████████████████▋                        |  ETA: 0:00:02
Sampling  43%|█████████████████▉                        |  ETA: 0:00:02
Sampling  43%|██████████████████                        |  ETA: 0:00:02
Sampling  44%|██████████████████▎                       |  ETA: 0:00:02
Sampling  44%|██████████████████▌                       |  ETA: 0:00:02
Sampling  45%|██████████████████▊                       |  ETA: 0:00:02
Sampling  45%|██████████████████▉                       |  ETA: 0:00:02
Sampling  46%|███████████████████▏                      |  ETA: 0:00:02
Sampling  46%|███████████████████▍                      |  ETA: 0:00:02
Sampling  47%|███████████████████▌                      |  ETA: 0:00:02
Sampling  47%|███████████████████▊                      |  ETA: 0:00:02
Sampling  48%|████████████████████                      |  ETA: 0:00:02
Sampling  48%|████████████████████▏                     |  ETA: 0:00:02
Sampling  49%|████████████████████▍                     |  ETA: 0:00:02
Sampling  49%|████████████████████▋                     |  ETA: 0:00:02
Sampling  50%|████████████████████▊                     |  ETA: 0:00:02
Sampling  50%|█████████████████████                     |  ETA: 0:00:02
Sampling  51%|█████████████████████▎                    |  ETA: 0:00:02
Sampling  51%|█████████████████████▍                    |  ETA: 0:00:02
Sampling  52%|█████████████████████▋                    |  ETA: 0:00:02
Sampling  52%|█████████████████████▉                    |  ETA: 0:00:02
Sampling  53%|██████████████████████▏                   |  ETA: 0:00:02
Sampling  53%|██████████████████████▎                   |  ETA: 0:00:02
Sampling  54%|██████████████████████▌                   |  ETA: 0:00:02
Sampling  54%|██████████████████████▋                   |  ETA: 0:00:02
Sampling  55%|██████████████████████▉                   |  ETA: 0:00:01
Sampling  55%|███████████████████████▏                  |  ETA: 0:00:01
Sampling  56%|███████████████████████▍                  |  ETA: 0:00:01
Sampling  56%|███████████████████████▌                  |  ETA: 0:00:01
Sampling  57%|███████████████████████▊                  |  ETA: 0:00:01
Sampling  57%|████████████████████████                  |  ETA: 0:00:01
Sampling  58%|████████████████████████▏                 |  ETA: 0:00:01
Sampling  58%|████████████████████████▍                 |  ETA: 0:00:01
Sampling  59%|████████████████████████▋                 |  ETA: 0:00:01
Sampling  59%|████████████████████████▊                 |  ETA: 0:00:01
Sampling  60%|█████████████████████████                 |  ETA: 0:00:01
Sampling  60%|█████████████████████████▎                |  ETA: 0:00:01
Sampling  61%|█████████████████████████▍                |  ETA: 0:00:01
Sampling  61%|█████████████████████████▋                |  ETA: 0:00:01
Sampling  62%|█████████████████████████▉                |  ETA: 0:00:01
Sampling  62%|██████████████████████████                |  ETA: 0:00:01
Sampling  63%|██████████████████████████▎               |  ETA: 0:00:01
Sampling  63%|██████████████████████████▌               |  ETA: 0:00:01
Sampling  64%|██████████████████████████▋               |  ETA: 0:00:01
Sampling  64%|██████████████████████████▉               |  ETA: 0:00:01
Sampling  65%|███████████████████████████▏              |  ETA: 0:00:01
Sampling  65%|███████████████████████████▎              |  ETA: 0:00:01
Sampling  66%|███████████████████████████▌              |  ETA: 0:00:01
Sampling  66%|███████████████████████████▊              |  ETA: 0:00:01
Sampling  67%|████████████████████████████              |  ETA: 0:00:01
Sampling  67%|████████████████████████████▏             |  ETA: 0:00:01
Sampling  68%|████████████████████████████▍             |  ETA: 0:00:01
Sampling  68%|████████████████████████████▌             |  ETA: 0:00:01
Sampling  69%|████████████████████████████▊             |  ETA: 0:00:01
Sampling  69%|█████████████████████████████             |  ETA: 0:00:01
Sampling  70%|█████████████████████████████▎            |  ETA: 0:00:01
Sampling  70%|█████████████████████████████▍            |  ETA: 0:00:01
Sampling  71%|█████████████████████████████▋            |  ETA: 0:00:01
Sampling  71%|█████████████████████████████▉            |  ETA: 0:00:01
Sampling  72%|██████████████████████████████            |  ETA: 0:00:01
Sampling  72%|██████████████████████████████▎           |  ETA: 0:00:01
Sampling  73%|██████████████████████████████▌           |  ETA: 0:00:01
Sampling  73%|██████████████████████████████▋           |  ETA: 0:00:01
Sampling  74%|██████████████████████████████▉           |  ETA: 0:00:01
Sampling  74%|███████████████████████████████▏          |  ETA: 0:00:01
Sampling  75%|███████████████████████████████▎          |  ETA: 0:00:01
Sampling  75%|███████████████████████████████▌          |  ETA: 0:00:01
Sampling  76%|███████████████████████████████▊          |  ETA: 0:00:01
Sampling  76%|███████████████████████████████▉          |  ETA: 0:00:01
Sampling  77%|████████████████████████████████▏         |  ETA: 0:00:01
Sampling  77%|████████████████████████████████▍         |  ETA: 0:00:01
Sampling  78%|████████████████████████████████▋         |  ETA: 0:00:01
Sampling  78%|████████████████████████████████▊         |  ETA: 0:00:01
Sampling  79%|█████████████████████████████████         |  ETA: 0:00:01
Sampling  79%|█████████████████████████████████▏        |  ETA: 0:00:00
Sampling  80%|█████████████████████████████████▍        |  ETA: 0:00:00
Sampling  80%|█████████████████████████████████▋        |  ETA: 0:00:00
Sampling  81%|█████████████████████████████████▉        |  ETA: 0:00:00
Sampling  81%|██████████████████████████████████        |  ETA: 0:00:00
Sampling  82%|██████████████████████████████████▎       |  ETA: 0:00:00
Sampling  82%|██████████████████████████████████▌       |  ETA: 0:00:00
Sampling  83%|██████████████████████████████████▋       |  ETA: 0:00:00
Sampling  83%|██████████████████████████████████▉       |  ETA: 0:00:00
Sampling  84%|███████████████████████████████████▏      |  ETA: 0:00:00
Sampling  84%|███████████████████████████████████▎      |  ETA: 0:00:00
Sampling  85%|███████████████████████████████████▌      |  ETA: 0:00:00
Sampling  85%|███████████████████████████████████▊      |  ETA: 0:00:00
Sampling  86%|███████████████████████████████████▉      |  ETA: 0:00:00
Sampling  86%|████████████████████████████████████▏     |  ETA: 0:00:00
Sampling  87%|████████████████████████████████████▍     |  ETA: 0:00:00
Sampling  87%|████████████████████████████████████▌     |  ETA: 0:00:00
Sampling  88%|████████████████████████████████████▊     |  ETA: 0:00:00
Sampling  88%|█████████████████████████████████████     |  ETA: 0:00:00
Sampling  89%|█████████████████████████████████████▏    |  ETA: 0:00:00
Sampling  89%|█████████████████████████████████████▍    |  ETA: 0:00:00
Sampling  90%|█████████████████████████████████████▋    |  ETA: 0:00:00
Sampling  90%|█████████████████████████████████████▊    |  ETA: 0:00:00
Sampling  91%|██████████████████████████████████████    |  ETA: 0:00:00
Sampling  91%|██████████████████████████████████████▎   |  ETA: 0:00:00
Sampling  92%|██████████████████████████████████████▌   |  ETA: 0:00:00
Sampling  92%|██████████████████████████████████████▋   |  ETA: 0:00:00
Sampling  93%|██████████████████████████████████████▉   |  ETA: 0:00:00
Sampling  93%|███████████████████████████████████████   |  ETA: 0:00:00
Sampling  94%|███████████████████████████████████████▎  |  ETA: 0:00:00
Sampling  94%|███████████████████████████████████████▌  |  ETA: 0:00:00
Sampling  95%|███████████████████████████████████████▊  |  ETA: 0:00:00
Sampling  95%|███████████████████████████████████████▉  |  ETA: 0:00:00
Sampling  96%|████████████████████████████████████████▏ |  ETA: 0:00:00
Sampling  96%|████████████████████████████████████████▍ |  ETA: 0:00:00
Sampling  97%|████████████████████████████████████████▌ |  ETA: 0:00:00
Sampling  97%|████████████████████████████████████████▊ |  ETA: 0:00:00
Sampling  98%|█████████████████████████████████████████ |  ETA: 0:00:00
Sampling  98%|█████████████████████████████████████████▏|  ETA: 0:00:00
Sampling  99%|█████████████████████████████████████████▍|  ETA: 0:00:00
Sampling  99%|█████████████████████████████████████████▋|  ETA: 0:00:00
Sampling 100%|█████████████████████████████████████████▊|  ETA: 0:00:00
Sampling 100%|██████████████████████████████████████████| Time: 0:00:01
Sampling 100%|██████████████████████████████████████████| Time: 0:00:02

Plotting samples from the posterior

We can see that the sampling of possible posterior parameters doesn’t really fit the data very well since our model was so simplified. The lines represent the posterior binomial probability.

This is saying that for the observed data, if there really is just a single probability p that governs the true process that came up with the data, there’s a pretty narrow range of values it could possibly be:

let
    data_weight = data.exposures ./ sum(data.exposures)
    data_weight = .√(data_weight ./ maximum(data_weight) .* 20) .* 4  # Makie markersize ≈ 4× Plots

    fig = Figure()
    ax = Axis(fig[1,1]; xlabel="age", ylabel="mortality rate",
        title="Parametric Bayesian Mortality")

    # show n samples from the posterior plotted on the graph
    n = 300
    for _ in 1:n
        p_posterior = sample(chain, 1)[:p][1]
        hlines!(ax, [p_posterior]; color=(CASSETTE_PALETTE[3], 0.08))
    end

    scatter!(ax, data.att_age, data.fraction;
        markersize=data_weight,
        color=(CASSETTE_PALETTE[1], 0.5),
        strokewidth=0,
        label="Experience data point (size = relative exposure)")

    ylims!(ax, 0.0, 0.25)
    axislegend(ax, position=:rt)
    fig
end

The posterior mean of p is of course very close to the simple proportoin of claims to exposures:

let
    a = mean(chain, :p)
    b = sum(data.deaths) / sum(data.exposures)
    a, b
end

(0.030734881157743216, 0.030695970695970697)

2. Parametric model

In this example, we utilize a MakehamBeard parameterization because it’s already very similar in form to a logistic function. This is important because our desired output is a probability (ie the probablity of a death at a given age), so the value must be constrained to be in the interval between zero and one.

The prior values for a,b,c, and k are chosen to constrain the hazard (mortality) rate to be between zero and one.

This isn’t an ideal parameterization (e.g. we aren’t including information about the select underwriting period), but is an example of utilizing Bayesian techniques on life experience data.

@model function mortality2(data, deaths)
    a ~ Exponential(0.1)
    b ~ Exponential(0.1)
    c = 0.0
    k ~ truncated(Exponential(1), 1, Inf)

    # use the variables to create a parametric mortality model
    m = MortalityTables.MakehamBeard(; a, b, c, k)

    # loop through the rows of the dataframe to let Turing observe the data
    # and how consistent the parameters are with the data
    for i = 1:nrow(data)
        age = data.att_age[i]
        q = clamp(MortalityTables.hazard(m, age), 1e-10, 1 - 1e-10)
        deaths[i] ~ Binomial(data.exposures[i], q)
    end
end

mortality2 (generic function with 2 methods)

Sampling from the posterior

We combine the model with the data and a use use a No-U-Turn-Sampler (NUTS) technique to sample:

m2 = mortality2(data, data.deaths)
chain2 = MCMCChains.Chains(sample(m2, NUTS(), 1000))
summarize(chain2)

Sampling   0%|                                          |  ETA: N/A
┌ Info: Found initial step size
└   ϵ = 0.0125
Sampling   1%|▎                                         |  ETA: 0:01:54
Sampling   1%|▍                                         |  ETA: 0:01:06
Sampling   2%|▋                                         |  ETA: 0:00:47
Sampling   2%|▉                                         |  ETA: 0:00:38
Sampling   3%|█▏                                        |  ETA: 0:00:36
Sampling   3%|█▎                                        |  ETA: 0:00:33
Sampling   4%|█▌                                        |  ETA: 0:00:31
Sampling   4%|█▋                                        |  ETA: 0:00:29
Sampling   5%|█▉                                        |  ETA: 0:00:26
Sampling   5%|██▏                                       |  ETA: 0:00:25
Sampling   6%|██▍                                       |  ETA: 0:00:23
Sampling   6%|██▌                                       |  ETA: 0:00:22
Sampling   7%|██▊                                       |  ETA: 0:00:22
Sampling   7%|███                                       |  ETA: 0:00:21
Sampling   8%|███▏                                      |  ETA: 0:00:20
Sampling   8%|███▍                                      |  ETA: 0:00:19
Sampling   9%|███▋                                      |  ETA: 0:00:18
Sampling   9%|███▊                                      |  ETA: 0:00:17
Sampling  10%|████                                      |  ETA: 0:00:17
Sampling  10%|████▎                                     |  ETA: 0:00:16
Sampling  11%|████▍                                     |  ETA: 0:00:15
Sampling  11%|████▋                                     |  ETA: 0:00:15
Sampling  12%|████▉                                     |  ETA: 0:00:14
Sampling  12%|█████                                     |  ETA: 0:00:14
Sampling  13%|█████▎                                    |  ETA: 0:00:13
Sampling  13%|█████▌                                    |  ETA: 0:00:13
Sampling  14%|█████▋                                    |  ETA: 0:00:13
Sampling  14%|█████▉                                    |  ETA: 0:00:12
Sampling  15%|██████▏                                   |  ETA: 0:00:12
Sampling  15%|██████▎                                   |  ETA: 0:00:12
Sampling  16%|██████▌                                   |  ETA: 0:00:11
Sampling  16%|██████▊                                   |  ETA: 0:00:11
Sampling  17%|███████                                   |  ETA: 0:00:11
Sampling  17%|███████▏                                  |  ETA: 0:00:11
Sampling  18%|███████▍                                  |  ETA: 0:00:10
Sampling  18%|███████▌                                  |  ETA: 0:00:10
Sampling  19%|███████▊                                  |  ETA: 0:00:10
Sampling  19%|████████                                  |  ETA: 0:00:10
Sampling  20%|████████▎                                 |  ETA: 0:00:09
Sampling  20%|████████▍                                 |  ETA: 0:00:09
Sampling  21%|████████▋                                 |  ETA: 0:00:09
Sampling  21%|████████▉                                 |  ETA: 0:00:09
Sampling  22%|█████████                                 |  ETA: 0:00:09
Sampling  22%|█████████▎                                |  ETA: 0:00:08
Sampling  23%|█████████▌                                |  ETA: 0:00:08
Sampling  23%|█████████▋                                |  ETA: 0:00:08
Sampling  24%|█████████▉                                |  ETA: 0:00:08
Sampling  24%|██████████▏                               |  ETA: 0:00:08
Sampling  25%|██████████▎                               |  ETA: 0:00:08
Sampling  25%|██████████▌                               |  ETA: 0:00:07
Sampling  26%|██████████▊                               |  ETA: 0:00:07
Sampling  26%|██████████▉                               |  ETA: 0:00:07
Sampling  27%|███████████▏                              |  ETA: 0:00:07
Sampling  27%|███████████▍                              |  ETA: 0:00:07
Sampling  28%|███████████▋                              |  ETA: 0:00:07
Sampling  28%|███████████▊                              |  ETA: 0:00:07
Sampling  29%|████████████                              |  ETA: 0:00:07
Sampling  29%|████████████▏                             |  ETA: 0:00:07
Sampling  30%|████████████▍                             |  ETA: 0:00:06
Sampling  30%|████████████▋                             |  ETA: 0:00:06
Sampling  31%|████████████▉                             |  ETA: 0:00:06
Sampling  31%|█████████████                             |  ETA: 0:00:06
Sampling  32%|█████████████▎                            |  ETA: 0:00:06
Sampling  32%|█████████████▌                            |  ETA: 0:00:06
Sampling  33%|█████████████▋                            |  ETA: 0:00:06
Sampling  33%|█████████████▉                            |  ETA: 0:00:06
Sampling  34%|██████████████▏                           |  ETA: 0:00:06
Sampling  34%|██████████████▎                           |  ETA: 0:00:06
Sampling  35%|██████████████▌                           |  ETA: 0:00:06
Sampling  35%|██████████████▊                           |  ETA: 0:00:05
Sampling  36%|██████████████▉                           |  ETA: 0:00:05
Sampling  36%|███████████████▏                          |  ETA: 0:00:05
Sampling  37%|███████████████▍                          |  ETA: 0:00:05
Sampling  37%|███████████████▌                          |  ETA: 0:00:05
Sampling  38%|███████████████▊                          |  ETA: 0:00:05
Sampling  38%|████████████████                          |  ETA: 0:00:05
Sampling  39%|████████████████▏                         |  ETA: 0:00:05
Sampling  39%|████████████████▍                         |  ETA: 0:00:05
Sampling  40%|████████████████▋                         |  ETA: 0:00:05
Sampling  40%|████████████████▊                         |  ETA: 0:00:05
Sampling  41%|█████████████████                         |  ETA: 0:00:05
Sampling  41%|█████████████████▎                        |  ETA: 0:00:05
Sampling  42%|█████████████████▌                        |  ETA: 0:00:05
Sampling  42%|█████████████████▋                        |  ETA: 0:00:04
Sampling  43%|█████████████████▉                        |  ETA: 0:00:04
Sampling  43%|██████████████████                        |  ETA: 0:00:04
Sampling  44%|██████████████████▎                       |  ETA: 0:00:04
Sampling  44%|██████████████████▌                       |  ETA: 0:00:04
Sampling  45%|██████████████████▊                       |  ETA: 0:00:04
Sampling  45%|██████████████████▉                       |  ETA: 0:00:04
Sampling  46%|███████████████████▏                      |  ETA: 0:00:04
Sampling  46%|███████████████████▍                      |  ETA: 0:00:04
Sampling  47%|███████████████████▌                      |  ETA: 0:00:04
Sampling  47%|███████████████████▊                      |  ETA: 0:00:04
Sampling  48%|████████████████████                      |  ETA: 0:00:04
Sampling  48%|████████████████████▏                     |  ETA: 0:00:04
Sampling  49%|████████████████████▍                     |  ETA: 0:00:04
Sampling  49%|████████████████████▋                     |  ETA: 0:00:04
Sampling  50%|████████████████████▊                     |  ETA: 0:00:04
Sampling  50%|█████████████████████                     |  ETA: 0:00:04
Sampling  51%|█████████████████████▎                    |  ETA: 0:00:03
Sampling  51%|█████████████████████▍                    |  ETA: 0:00:03
Sampling  52%|█████████████████████▋                    |  ETA: 0:00:03
Sampling  52%|█████████████████████▉                    |  ETA: 0:00:03
Sampling  53%|██████████████████████▏                   |  ETA: 0:00:03
Sampling  53%|██████████████████████▎                   |  ETA: 0:00:03
Sampling  54%|██████████████████████▌                   |  ETA: 0:00:03
Sampling  54%|██████████████████████▋                   |  ETA: 0:00:03
Sampling  55%|██████████████████████▉                   |  ETA: 0:00:03
Sampling  55%|███████████████████████▏                  |  ETA: 0:00:03
Sampling  56%|███████████████████████▍                  |  ETA: 0:00:03
Sampling  56%|███████████████████████▌                  |  ETA: 0:00:03
Sampling  57%|███████████████████████▊                  |  ETA: 0:00:03
Sampling  57%|████████████████████████                  |  ETA: 0:00:03
Sampling  58%|████████████████████████▏                 |  ETA: 0:00:03
Sampling  58%|████████████████████████▍                 |  ETA: 0:00:03
Sampling  59%|████████████████████████▋                 |  ETA: 0:00:03
Sampling  59%|████████████████████████▊                 |  ETA: 0:00:03
Sampling  60%|█████████████████████████                 |  ETA: 0:00:03
Sampling  60%|█████████████████████████▎                |  ETA: 0:00:03
Sampling  61%|█████████████████████████▍                |  ETA: 0:00:03
Sampling  61%|█████████████████████████▋                |  ETA: 0:00:03
Sampling  62%|█████████████████████████▉                |  ETA: 0:00:03
Sampling  62%|██████████████████████████                |  ETA: 0:00:02
Sampling  63%|██████████████████████████▎               |  ETA: 0:00:02
Sampling  63%|██████████████████████████▌               |  ETA: 0:00:02
Sampling  64%|██████████████████████████▋               |  ETA: 0:00:02
Sampling  64%|██████████████████████████▉               |  ETA: 0:00:02
Sampling  65%|███████████████████████████▏              |  ETA: 0:00:02
Sampling  65%|███████████████████████████▎              |  ETA: 0:00:02
Sampling  66%|███████████████████████████▌              |  ETA: 0:00:02
Sampling  66%|███████████████████████████▊              |  ETA: 0:00:02
Sampling  67%|████████████████████████████              |  ETA: 0:00:02
Sampling  67%|████████████████████████████▏             |  ETA: 0:00:02
Sampling  68%|████████████████████████████▍             |  ETA: 0:00:02
Sampling  68%|████████████████████████████▌             |  ETA: 0:00:02
Sampling  69%|████████████████████████████▊             |  ETA: 0:00:02
Sampling  69%|█████████████████████████████             |  ETA: 0:00:02
Sampling  70%|█████████████████████████████▎            |  ETA: 0:00:02
Sampling  70%|█████████████████████████████▍            |  ETA: 0:00:02
Sampling  71%|█████████████████████████████▋            |  ETA: 0:00:02
Sampling  71%|█████████████████████████████▉            |  ETA: 0:00:02
Sampling  72%|██████████████████████████████            |  ETA: 0:00:02
Sampling  72%|██████████████████████████████▎           |  ETA: 0:00:02
Sampling  73%|██████████████████████████████▌           |  ETA: 0:00:02
Sampling  73%|██████████████████████████████▋           |  ETA: 0:00:02
Sampling  74%|██████████████████████████████▉           |  ETA: 0:00:02
Sampling  74%|███████████████████████████████▏          |  ETA: 0:00:02
Sampling  75%|███████████████████████████████▎          |  ETA: 0:00:02
Sampling  75%|███████████████████████████████▌          |  ETA: 0:00:02
Sampling  76%|███████████████████████████████▊          |  ETA: 0:00:01
Sampling  76%|███████████████████████████████▉          |  ETA: 0:00:01
Sampling  77%|████████████████████████████████▏         |  ETA: 0:00:01
Sampling  77%|████████████████████████████████▍         |  ETA: 0:00:01
Sampling  78%|████████████████████████████████▋         |  ETA: 0:00:01
Sampling  78%|████████████████████████████████▊         |  ETA: 0:00:01
Sampling  79%|█████████████████████████████████         |  ETA: 0:00:01
Sampling  79%|█████████████████████████████████▏        |  ETA: 0:00:01
Sampling  80%|█████████████████████████████████▍        |  ETA: 0:00:01
Sampling  80%|█████████████████████████████████▋        |  ETA: 0:00:01
Sampling  81%|█████████████████████████████████▉        |  ETA: 0:00:01
Sampling  81%|██████████████████████████████████        |  ETA: 0:00:01
Sampling  82%|██████████████████████████████████▎       |  ETA: 0:00:01
Sampling  82%|██████████████████████████████████▌       |  ETA: 0:00:01
Sampling  83%|██████████████████████████████████▋       |  ETA: 0:00:01
Sampling  83%|██████████████████████████████████▉       |  ETA: 0:00:01
Sampling  84%|███████████████████████████████████▏      |  ETA: 0:00:01
Sampling  84%|███████████████████████████████████▎      |  ETA: 0:00:01
Sampling  85%|███████████████████████████████████▌      |  ETA: 0:00:01
Sampling  85%|███████████████████████████████████▊      |  ETA: 0:00:01
Sampling  86%|███████████████████████████████████▉      |  ETA: 0:00:01
Sampling  86%|████████████████████████████████████▏     |  ETA: 0:00:01
Sampling  87%|████████████████████████████████████▍     |  ETA: 0:00:01
Sampling  87%|████████████████████████████████████▌     |  ETA: 0:00:01
Sampling  88%|████████████████████████████████████▊     |  ETA: 0:00:01
Sampling  88%|█████████████████████████████████████     |  ETA: 0:00:01
Sampling  89%|█████████████████████████████████████▏    |  ETA: 0:00:01
Sampling  89%|█████████████████████████████████████▍    |  ETA: 0:00:01
Sampling  90%|█████████████████████████████████████▋    |  ETA: 0:00:01
Sampling  90%|█████████████████████████████████████▊    |  ETA: 0:00:01
Sampling  91%|██████████████████████████████████████    |  ETA: 0:00:01
Sampling  91%|██████████████████████████████████████▎   |  ETA: 0:00:01
Sampling  92%|██████████████████████████████████████▌   |  ETA: 0:00:00
Sampling  92%|██████████████████████████████████████▋   |  ETA: 0:00:00
Sampling  93%|██████████████████████████████████████▉   |  ETA: 0:00:00
Sampling  93%|███████████████████████████████████████   |  ETA: 0:00:00
Sampling  94%|███████████████████████████████████████▎  |  ETA: 0:00:00
Sampling  94%|███████████████████████████████████████▌  |  ETA: 0:00:00
Sampling  95%|███████████████████████████████████████▊  |  ETA: 0:00:00
Sampling  95%|███████████████████████████████████████▉  |  ETA: 0:00:00
Sampling  96%|████████████████████████████████████████▏ |  ETA: 0:00:00
Sampling  96%|████████████████████████████████████████▍ |  ETA: 0:00:00
Sampling  97%|████████████████████████████████████████▌ |  ETA: 0:00:00
Sampling  97%|████████████████████████████████████████▊ |  ETA: 0:00:00
Sampling  98%|█████████████████████████████████████████ |  ETA: 0:00:00
Sampling  98%|█████████████████████████████████████████▏|  ETA: 0:00:00
Sampling  99%|█████████████████████████████████████████▍|  ETA: 0:00:00
Sampling  99%|█████████████████████████████████████████▋|  ETA: 0:00:00
Sampling 100%|█████████████████████████████████████████▊|  ETA: 0:00:00
Sampling 100%|██████████████████████████████████████████| Time: 0:00:05
Sampling 100%|██████████████████████████████████████████| Time: 0:00:05
┌ Warning: There were 4 divergent transitions. Consider reparameterising your model or using a smaller step size. For adaptive samplers such as NUTS and HMCDA, consider increasing `target_accept`.
└ @ Turing.Inference ~/.julia/packages/Turing/4hMHm/src/mcmc/hmc.jl:483

  parameters      mean       std      mcse   ess_bulk   ess_tail      rhat   e ⋯
      Symbol   Float64   Float64   Float64    Float64    Float64   Float64     ⋯

           a    0.0044    0.0008    0.0001   225.6766   220.7921    1.0105     ⋯
           b    0.0334    0.0030    0.0002   214.9863   223.1450    1.0102     ⋯
           k    1.8925    0.8653    0.0504   254.9528   257.2569    0.9997     ⋯

                                                                1 column omitted

chainplot(chain2)

Plotting samples from the posterior

We can see that the sampling of possible posterior parameters fits the data well:

let
    data_weight = data.exposures ./ sum(data.exposures)
    data_weight = .√(data_weight ./ maximum(data_weight) .* 20) .* 4

    fig = Figure()
    ax = Axis(fig[1,1]; xlabel="age", ylabel="mortality rate",
        title="Parametric Bayesian Mortality")

    n = 300
    ages = sort!(unique(data.att_age))
    for _ in 1:n
        s = sample(chain2, 1)
        a = only(s[:a]); b = only(s[:b]); k = only(s[:k]); c = 0
        m = MortalityTables.MakehamBeard(; a, b, c, k)
        lines!(ax, ages, age -> MortalityTables.hazard(m, age);
            color=(CASSETTE_PALETTE[3], 0.08), linewidth=0.8)
    end

    scatter!(ax, data.att_age, data.fraction;
        markersize=data_weight, color=(CASSETTE_PALETTE[1], 0.5),
        strokewidth=0,
        label="Experience data point (size = relative exposure)")

    ylims!(ax, 0.0, 0.25)
    axislegend(ax, position=:rt)
    fig
end

3. Parametric model

This model extends the prior to create a multi-level model. Each risk class (risklevel) gets its own \(a\) paramater in the MakhamBeard model. The prior for \(a_i\) is determined by the hyperparameter \(\bar{a}\).

@model function mortality3(data, deaths)
    risk_levels = length(levels(data.risklevel))
    b ~ Exponential(0.1)
    ā ~ Exponential(0.1)
    a ~ filldist(Exponential(ā), risk_levels)
    c = 0
    k ~ truncated(Exponential(1), 1, Inf)

    # use the variables to create a parametric mortality model

    # loop through the rows of the dataframe to let Turing observe the data 
    # and how consistent the parameters are with the data
    for i = 1:nrow(data)
        risk = data.risklevel[i]

        m = MortalityTables.MakehamBeard(; a=a[risk], b, c, k)
        age = data.att_age[i]
        q = clamp(MortalityTables.hazard(m, age), 1e-10, 1 - 1e-10)
        deaths[i] ~ Binomial(data.exposures[i], q)
    end
end

mortality3 (generic function with 2 methods)

Instantiate model with the data, sample, and summarize:

m3 = mortality3(data2, data2.deaths)
chain3 = MCMCChains.Chains(sample(m3, NUTS(), 1000))
summarize(chain3)

Sampling   0%|                                          |  ETA: N/A
┌ Info: Found initial step size
└   ϵ = 0.0125
Sampling   1%|▎                                         |  ETA: 0:03:02
Sampling   1%|▍                                         |  ETA: 0:02:06
Sampling   2%|▋                                         |  ETA: 0:01:25
Sampling   2%|▉                                         |  ETA: 0:01:10
Sampling   3%|█▏                                        |  ETA: 0:01:13
Sampling   3%|█▎                                        |  ETA: 0:01:17
Sampling   4%|█▌                                        |  ETA: 0:01:19
Sampling   4%|█▋                                        |  ETA: 0:01:22
Sampling   5%|█▉                                        |  ETA: 0:01:24
Sampling   5%|██▏                                       |  ETA: 0:01:21
Sampling   6%|██▍                                       |  ETA: 0:01:30
Sampling   6%|██▌                                       |  ETA: 0:01:27
Sampling   7%|██▊                                       |  ETA: 0:01:30
Sampling   7%|███                                       |  ETA: 0:01:27
Sampling   8%|███▏                                      |  ETA: 0:01:23
Sampling   8%|███▍                                      |  ETA: 0:01:18
Sampling   9%|███▋                                      |  ETA: 0:01:15
Sampling   9%|███▊                                      |  ETA: 0:01:12
Sampling  10%|████                                      |  ETA: 0:01:08
Sampling  10%|████▎                                     |  ETA: 0:01:05
Sampling  11%|████▍                                     |  ETA: 0:01:03
Sampling  11%|████▋                                     |  ETA: 0:01:01
Sampling  12%|████▉                                     |  ETA: 0:00:59
Sampling  12%|█████                                     |  ETA: 0:00:58
Sampling  13%|█████▎                                    |  ETA: 0:00:56
Sampling  13%|█████▌                                    |  ETA: 0:00:54
Sampling  14%|█████▋                                    |  ETA: 0:00:52
Sampling  14%|█████▉                                    |  ETA: 0:00:51
Sampling  15%|██████▏                                   |  ETA: 0:00:50
Sampling  15%|██████▎                                   |  ETA: 0:00:49
Sampling  16%|██████▌                                   |  ETA: 0:00:47
Sampling  16%|██████▊                                   |  ETA: 0:00:46
Sampling  17%|███████                                   |  ETA: 0:00:45
Sampling  17%|███████▏                                  |  ETA: 0:00:44
Sampling  18%|███████▍                                  |  ETA: 0:00:43
Sampling  18%|███████▌                                  |  ETA: 0:00:42
Sampling  19%|███████▊                                  |  ETA: 0:00:41
Sampling  19%|████████                                  |  ETA: 0:00:40
Sampling  20%|████████▎                                 |  ETA: 0:00:39
Sampling  20%|████████▍                                 |  ETA: 0:00:39
Sampling  21%|████████▋                                 |  ETA: 0:00:38
Sampling  21%|████████▉                                 |  ETA: 0:00:37
Sampling  22%|█████████                                 |  ETA: 0:00:36
Sampling  22%|█████████▎                                |  ETA: 0:00:35
Sampling  23%|█████████▌                                |  ETA: 0:00:35
Sampling  23%|█████████▋                                |  ETA: 0:00:34
Sampling  24%|█████████▉                                |  ETA: 0:00:33
Sampling  24%|██████████▏                               |  ETA: 0:00:33
Sampling  25%|██████████▎                               |  ETA: 0:00:32
Sampling  25%|██████████▌                               |  ETA: 0:00:31
Sampling  26%|██████████▊                               |  ETA: 0:00:31
Sampling  26%|██████████▉                               |  ETA: 0:00:30
Sampling  27%|███████████▏                              |  ETA: 0:00:30
Sampling  27%|███████████▍                              |  ETA: 0:00:29
Sampling  28%|███████████▋                              |  ETA: 0:00:29
Sampling  28%|███████████▊                              |  ETA: 0:00:28
Sampling  29%|████████████                              |  ETA: 0:00:28
Sampling  29%|████████████▏                             |  ETA: 0:00:27
Sampling  30%|████████████▍                             |  ETA: 0:00:27
Sampling  30%|████████████▋                             |  ETA: 0:00:26
Sampling  31%|████████████▉                             |  ETA: 0:00:26
Sampling  31%|█████████████                             |  ETA: 0:00:25
Sampling  32%|█████████████▎                            |  ETA: 0:00:25
Sampling  32%|█████████████▌                            |  ETA: 0:00:25
Sampling  33%|█████████████▋                            |  ETA: 0:00:24
Sampling  33%|█████████████▉                            |  ETA: 0:00:24
Sampling  34%|██████████████▏                           |  ETA: 0:00:24
Sampling  34%|██████████████▎                           |  ETA: 0:00:23
Sampling  35%|██████████████▌                           |  ETA: 0:00:23
Sampling  35%|██████████████▊                           |  ETA: 0:00:23
Sampling  36%|██████████████▉                           |  ETA: 0:00:22
Sampling  36%|███████████████▏                          |  ETA: 0:00:22
Sampling  37%|███████████████▍                          |  ETA: 0:00:22
Sampling  37%|███████████████▌                          |  ETA: 0:00:22
Sampling  38%|███████████████▊                          |  ETA: 0:00:21
Sampling  38%|████████████████                          |  ETA: 0:00:21
Sampling  39%|████████████████▏                         |  ETA: 0:00:21
Sampling  39%|████████████████▍                         |  ETA: 0:00:20
Sampling  40%|████████████████▋                         |  ETA: 0:00:20
Sampling  40%|████████████████▊                         |  ETA: 0:00:20
Sampling  41%|█████████████████                         |  ETA: 0:00:20
Sampling  41%|█████████████████▎                        |  ETA: 0:00:19
Sampling  42%|█████████████████▌                        |  ETA: 0:00:19
Sampling  42%|█████████████████▋                        |  ETA: 0:00:19
Sampling  43%|█████████████████▉                        |  ETA: 0:00:18
Sampling  43%|██████████████████                        |  ETA: 0:00:18
Sampling  44%|██████████████████▎                       |  ETA: 0:00:18
Sampling  44%|██████████████████▌                       |  ETA: 0:00:18
Sampling  45%|██████████████████▊                       |  ETA: 0:00:18
Sampling  45%|██████████████████▉                       |  ETA: 0:00:17
Sampling  46%|███████████████████▏                      |  ETA: 0:00:17
Sampling  46%|███████████████████▍                      |  ETA: 0:00:17
Sampling  47%|███████████████████▌                      |  ETA: 0:00:17
Sampling  47%|███████████████████▊                      |  ETA: 0:00:16
Sampling  48%|████████████████████                      |  ETA: 0:00:16
Sampling  48%|████████████████████▏                     |  ETA: 0:00:16
Sampling  49%|████████████████████▍                     |  ETA: 0:00:16
Sampling  49%|████████████████████▋                     |  ETA: 0:00:16
Sampling  50%|████████████████████▊                     |  ETA: 0:00:15
Sampling  50%|█████████████████████                     |  ETA: 0:00:15
Sampling  51%|█████████████████████▎                    |  ETA: 0:00:15
Sampling  51%|█████████████████████▍                    |  ETA: 0:00:15
Sampling  52%|█████████████████████▋                    |  ETA: 0:00:15
Sampling  52%|█████████████████████▉                    |  ETA: 0:00:14
Sampling  53%|██████████████████████▏                   |  ETA: 0:00:14
Sampling  53%|██████████████████████▎                   |  ETA: 0:00:14
Sampling  54%|██████████████████████▌                   |  ETA: 0:00:14
Sampling  54%|██████████████████████▋                   |  ETA: 0:00:14
Sampling  55%|██████████████████████▉                   |  ETA: 0:00:13
Sampling  55%|███████████████████████▏                  |  ETA: 0:00:13
Sampling  56%|███████████████████████▍                  |  ETA: 0:00:13
Sampling  56%|███████████████████████▌                  |  ETA: 0:00:13
Sampling  57%|███████████████████████▊                  |  ETA: 0:00:13
Sampling  57%|████████████████████████                  |  ETA: 0:00:13
Sampling  58%|████████████████████████▏                 |  ETA: 0:00:12
Sampling  58%|████████████████████████▍                 |  ETA: 0:00:12
Sampling  59%|████████████████████████▋                 |  ETA: 0:00:12
Sampling  59%|████████████████████████▊                 |  ETA: 0:00:12
Sampling  60%|█████████████████████████                 |  ETA: 0:00:12
Sampling  60%|█████████████████████████▎                |  ETA: 0:00:11
Sampling  61%|█████████████████████████▍                |  ETA: 0:00:11
Sampling  61%|█████████████████████████▋                |  ETA: 0:00:11
Sampling  62%|█████████████████████████▉                |  ETA: 0:00:11
Sampling  62%|██████████████████████████                |  ETA: 0:00:11
Sampling  63%|██████████████████████████▎               |  ETA: 0:00:11
Sampling  63%|██████████████████████████▌               |  ETA: 0:00:10
Sampling  64%|██████████████████████████▋               |  ETA: 0:00:10
Sampling  64%|██████████████████████████▉               |  ETA: 0:00:10
Sampling  65%|███████████████████████████▏              |  ETA: 0:00:10
Sampling  65%|███████████████████████████▎              |  ETA: 0:00:10
Sampling  66%|███████████████████████████▌              |  ETA: 0:00:10
Sampling  66%|███████████████████████████▊              |  ETA: 0:00:09
Sampling  67%|████████████████████████████              |  ETA: 0:00:09
Sampling  67%|████████████████████████████▏             |  ETA: 0:00:09
Sampling  68%|████████████████████████████▍             |  ETA: 0:00:09
Sampling  68%|████████████████████████████▌             |  ETA: 0:00:09
Sampling  69%|████████████████████████████▊             |  ETA: 0:00:09
Sampling  69%|█████████████████████████████             |  ETA: 0:00:09
Sampling  70%|█████████████████████████████▎            |  ETA: 0:00:08
Sampling  70%|█████████████████████████████▍            |  ETA: 0:00:08
Sampling  71%|█████████████████████████████▋            |  ETA: 0:00:08
Sampling  71%|█████████████████████████████▉            |  ETA: 0:00:08
Sampling  72%|██████████████████████████████            |  ETA: 0:00:08
Sampling  72%|██████████████████████████████▎           |  ETA: 0:00:08
Sampling  73%|██████████████████████████████▌           |  ETA: 0:00:07
Sampling  73%|██████████████████████████████▋           |  ETA: 0:00:07
Sampling  74%|██████████████████████████████▉           |  ETA: 0:00:07
Sampling  74%|███████████████████████████████▏          |  ETA: 0:00:07
Sampling  75%|███████████████████████████████▎          |  ETA: 0:00:07
Sampling  75%|███████████████████████████████▌          |  ETA: 0:00:07
Sampling  76%|███████████████████████████████▊          |  ETA: 0:00:07
Sampling  76%|███████████████████████████████▉          |  ETA: 0:00:06
Sampling  77%|████████████████████████████████▏         |  ETA: 0:00:06
Sampling  77%|████████████████████████████████▍         |  ETA: 0:00:06
Sampling  78%|████████████████████████████████▋         |  ETA: 0:00:06
Sampling  78%|████████████████████████████████▊         |  ETA: 0:00:06
Sampling  79%|█████████████████████████████████         |  ETA: 0:00:06
Sampling  79%|█████████████████████████████████▏        |  ETA: 0:00:06
Sampling  80%|█████████████████████████████████▍        |  ETA: 0:00:05
Sampling  80%|█████████████████████████████████▋        |  ETA: 0:00:05
Sampling  81%|█████████████████████████████████▉        |  ETA: 0:00:05
Sampling  81%|██████████████████████████████████        |  ETA: 0:00:05
Sampling  82%|██████████████████████████████████▎       |  ETA: 0:00:05
Sampling  82%|██████████████████████████████████▌       |  ETA: 0:00:05
Sampling  83%|██████████████████████████████████▋       |  ETA: 0:00:05
Sampling  83%|██████████████████████████████████▉       |  ETA: 0:00:04
Sampling  84%|███████████████████████████████████▏      |  ETA: 0:00:04
Sampling  84%|███████████████████████████████████▎      |  ETA: 0:00:04
Sampling  85%|███████████████████████████████████▌      |  ETA: 0:00:04
Sampling  85%|███████████████████████████████████▊      |  ETA: 0:00:04
Sampling  86%|███████████████████████████████████▉      |  ETA: 0:00:04
Sampling  86%|████████████████████████████████████▏     |  ETA: 0:00:04
Sampling  87%|████████████████████████████████████▍     |  ETA: 0:00:03
Sampling  87%|████████████████████████████████████▌     |  ETA: 0:00:03
Sampling  88%|████████████████████████████████████▊     |  ETA: 0:00:03
Sampling  88%|█████████████████████████████████████     |  ETA: 0:00:03
Sampling  89%|█████████████████████████████████████▏    |  ETA: 0:00:03
Sampling  89%|█████████████████████████████████████▍    |  ETA: 0:00:03
Sampling  90%|█████████████████████████████████████▋    |  ETA: 0:00:03
Sampling  90%|█████████████████████████████████████▊    |  ETA: 0:00:03
Sampling  91%|██████████████████████████████████████    |  ETA: 0:00:02
Sampling  91%|██████████████████████████████████████▎   |  ETA: 0:00:02
Sampling  92%|██████████████████████████████████████▌   |  ETA: 0:00:02
Sampling  92%|██████████████████████████████████████▋   |  ETA: 0:00:02
Sampling  93%|██████████████████████████████████████▉   |  ETA: 0:00:02
Sampling  93%|███████████████████████████████████████   |  ETA: 0:00:02
Sampling  94%|███████████████████████████████████████▎  |  ETA: 0:00:02
Sampling  94%|███████████████████████████████████████▌  |  ETA: 0:00:02
Sampling  95%|███████████████████████████████████████▊  |  ETA: 0:00:01
Sampling  95%|███████████████████████████████████████▉  |  ETA: 0:00:01
Sampling  96%|████████████████████████████████████████▏ |  ETA: 0:00:01
Sampling  96%|████████████████████████████████████████▍ |  ETA: 0:00:01
Sampling  97%|████████████████████████████████████████▌ |  ETA: 0:00:01
Sampling  97%|████████████████████████████████████████▊ |  ETA: 0:00:01
Sampling  98%|█████████████████████████████████████████ |  ETA: 0:00:01
Sampling  98%|█████████████████████████████████████████▏|  ETA: 0:00:01
Sampling  99%|█████████████████████████████████████████▍|  ETA: 0:00:00
Sampling  99%|█████████████████████████████████████████▋|  ETA: 0:00:00
Sampling 100%|█████████████████████████████████████████▊|  ETA: 0:00:00
Sampling 100%|██████████████████████████████████████████| Time: 0:00:25
Sampling 100%|██████████████████████████████████████████| Time: 0:00:25

  parameters      mean       std      mcse   ess_bulk   ess_tail      rhat   e ⋯
      Symbol   Float64   Float64   Float64    Float64    Float64   Float64     ⋯

           b    0.0389    0.0030    0.0003    94.0725   206.8419    1.0396     ⋯
           ā    0.0087    0.0109    0.0007   352.1930   392.6408    1.0083     ⋯
        a[1]    0.0021    0.0004    0.0000   101.7623   200.0031    1.0370     ⋯
        a[2]    0.0032    0.0006    0.0001   104.1115   176.4790    1.0361     ⋯
        a[3]    0.0047    0.0008    0.0001   107.3696   301.4567    1.0332     ⋯
           k    1.8321    0.7961    0.0370   304.3834   405.4566    1.0101     ⋯

                                                                1 column omitted

let data = data2
    data_weight = data.exposures ./ sum(data.exposures)
    data_weight = .√(data_weight ./ maximum(data_weight) .* 20) .* 4

    risk_colors = CASSETTE_PALETTE[1:3]
    point_colors = [risk_colors[r] for r in Int.(data.risklevel)]

    fig = Figure()
    ax = Axis(fig[1,1]; xlabel="age", ylabel="mortality rate",
        title="Parametric Bayesian Mortality")

    n = 100
    ages = sort!(unique(data.att_age))
    for r in 1:3, i in 1:n
        s = sample(chain3, 1)
        a = only(s[Symbol("a[$r]")])
        b = only(s[:b]); k = only(s[:k]); c = 0
        m = MortalityTables.MakehamBeard(; a, b, c, k)
        lines!(ax, ages, age -> MortalityTables.hazard(m, age);
            color=(risk_colors[r], 0.12), linewidth=0.8,
            label = (i == 1 ? "risk level $r" : nothing))
    end

    scatter!(ax, data.att_age, data.fraction;
        markersize=data_weight, color=point_colors, strokewidth=0)

    ylims!(ax, 0.0, 0.25)
    axislegend(ax, position=:rt, unique=true)
    fig
end

Handling non-unit exposures

The key is to use the Poisson distribution:

@model function mortality4(data, deaths)
    risk_levels = length(levels(data.risklevel))
    b ~ Exponential(0.1)
    ā ~ Exponential(0.1)
    a ~ filldist(Exponential(ā), risk_levels)
    c ~ Beta(4, 18)
    k ~ truncated(Exponential(1), 1, Inf)

    # use the variables to create a parametric mortality model

    # loop through the rows of the dataframe to let Turing observe the data 
    # and how consistent the parameters are with the data
    for i = 1:nrow(data)
        risk = data.risklevel[i]

        m = MortalityTables.MakehamBeard(; a=a[risk], b, c, k)
        age = data.att_age[i]
        q = MortalityTables.hazard(m, age)
        deaths[i] ~ Poisson(data.exposures[i] * q)
    end
end

mortality4 (generic function with 2 methods)

Instantiate model with the data, sample, and summarize:

m4 = mortality4(data2, data2.deaths)
chain4 = MCMCChains.Chains(sample(m4, NUTS(), 1000))
summarize(chain4)

Sampling   0%|                                          |  ETA: N/A
┌ Info: Found initial step size
└   ϵ = 0.025
Sampling   1%|▎                                         |  ETA: 0:02:37
Sampling   1%|▍                                         |  ETA: 0:01:27
Sampling   2%|▋                                         |  ETA: 0:01:17
Sampling   2%|▉                                         |  ETA: 0:01:05
Sampling   3%|█▏                                        |  ETA: 0:00:58
Sampling   3%|█▎                                        |  ETA: 0:01:02
Sampling   4%|█▌                                        |  ETA: 0:01:03
Sampling   4%|█▋                                        |  ETA: 0:01:15
Sampling   5%|█▉                                        |  ETA: 0:01:23
Sampling   5%|██▏                                       |  ETA: 0:01:26
Sampling   6%|██▍                                       |  ETA: 0:01:30
Sampling   6%|██▌                                       |  ETA: 0:01:28
Sampling   7%|██▊                                       |  ETA: 0:01:35
Sampling   7%|███                                       |  ETA: 0:01:34
Sampling   8%|███▏                                      |  ETA: 0:01:31
Sampling   8%|███▍                                      |  ETA: 0:01:29
Sampling   9%|███▋                                      |  ETA: 0:01:27
Sampling   9%|███▊                                      |  ETA: 0:01:24
Sampling  10%|████                                      |  ETA: 0:01:20
Sampling  10%|████▎                                     |  ETA: 0:01:17
Sampling  11%|████▍                                     |  ETA: 0:01:17
Sampling  11%|████▋                                     |  ETA: 0:01:15
Sampling  12%|████▉                                     |  ETA: 0:01:12
Sampling  12%|█████                                     |  ETA: 0:01:11
Sampling  13%|█████▎                                    |  ETA: 0:01:10
Sampling  13%|█████▌                                    |  ETA: 0:01:09
Sampling  14%|█████▋                                    |  ETA: 0:01:07
Sampling  14%|█████▉                                    |  ETA: 0:01:06
Sampling  15%|██████▏                                   |  ETA: 0:01:04
Sampling  15%|██████▎                                   |  ETA: 0:01:03
Sampling  16%|██████▌                                   |  ETA: 0:01:01
Sampling  16%|██████▊                                   |  ETA: 0:01:00
Sampling  17%|███████                                   |  ETA: 0:00:59
Sampling  17%|███████▏                                  |  ETA: 0:00:57
Sampling  18%|███████▍                                  |  ETA: 0:00:56
Sampling  18%|███████▌                                  |  ETA: 0:00:55
Sampling  19%|███████▊                                  |  ETA: 0:00:54
Sampling  19%|████████                                  |  ETA: 0:00:53
Sampling  20%|████████▎                                 |  ETA: 0:00:52
Sampling  20%|████████▍                                 |  ETA: 0:00:51
Sampling  21%|████████▋                                 |  ETA: 0:00:50
Sampling  21%|████████▉                                 |  ETA: 0:00:49
Sampling  22%|█████████                                 |  ETA: 0:00:48
Sampling  22%|█████████▎                                |  ETA: 0:00:48
Sampling  23%|█████████▌                                |  ETA: 0:00:47
Sampling  23%|█████████▋                                |  ETA: 0:00:46
Sampling  24%|█████████▉                                |  ETA: 0:00:45
Sampling  24%|██████████▏                               |  ETA: 0:00:45
Sampling  25%|██████████▎                               |  ETA: 0:00:44
Sampling  25%|██████████▌                               |  ETA: 0:00:43
Sampling  26%|██████████▊                               |  ETA: 0:00:42
Sampling  26%|██████████▉                               |  ETA: 0:00:42
Sampling  27%|███████████▏                              |  ETA: 0:00:41
Sampling  27%|███████████▍                              |  ETA: 0:00:40
Sampling  28%|███████████▋                              |  ETA: 0:00:40
Sampling  28%|███████████▊                              |  ETA: 0:00:39
Sampling  29%|████████████                              |  ETA: 0:00:38
Sampling  29%|████████████▏                             |  ETA: 0:00:38
Sampling  30%|████████████▍                             |  ETA: 0:00:37
Sampling  30%|████████████▋                             |  ETA: 0:00:37
Sampling  31%|████████████▉                             |  ETA: 0:00:36
Sampling  31%|█████████████                             |  ETA: 0:00:36
Sampling  32%|█████████████▎                            |  ETA: 0:00:36
Sampling  32%|█████████████▌                            |  ETA: 0:00:35
Sampling  33%|█████████████▋                            |  ETA: 0:00:35
Sampling  33%|█████████████▉                            |  ETA: 0:00:35
Sampling  34%|██████████████▏                           |  ETA: 0:00:34
Sampling  34%|██████████████▎                           |  ETA: 0:00:34
Sampling  35%|██████████████▌                           |  ETA: 0:00:34
Sampling  35%|██████████████▊                           |  ETA: 0:00:33
Sampling  36%|██████████████▉                           |  ETA: 0:00:33
Sampling  36%|███████████████▏                          |  ETA: 0:00:33
Sampling  37%|███████████████▍                          |  ETA: 0:00:32
Sampling  37%|███████████████▌                          |  ETA: 0:00:32
Sampling  38%|███████████████▊                          |  ETA: 0:00:31
Sampling  38%|████████████████                          |  ETA: 0:00:31
Sampling  39%|████████████████▏                         |  ETA: 0:00:31
Sampling  39%|████████████████▍                         |  ETA: 0:00:30
Sampling  40%|████████████████▋                         |  ETA: 0:00:30
Sampling  40%|████████████████▊                         |  ETA: 0:00:29
Sampling  41%|█████████████████                         |  ETA: 0:00:29
Sampling  41%|█████████████████▎                        |  ETA: 0:00:29
Sampling  42%|█████████████████▌                        |  ETA: 0:00:28
Sampling  42%|█████████████████▋                        |  ETA: 0:00:28
Sampling  43%|█████████████████▉                        |  ETA: 0:00:28
Sampling  43%|██████████████████                        |  ETA: 0:00:28
Sampling  44%|██████████████████▎                       |  ETA: 0:00:27
Sampling  44%|██████████████████▌                       |  ETA: 0:00:27
Sampling  45%|██████████████████▊                       |  ETA: 0:00:27
Sampling  45%|██████████████████▉                       |  ETA: 0:00:26
Sampling  46%|███████████████████▏                      |  ETA: 0:00:26
Sampling  46%|███████████████████▍                      |  ETA: 0:00:26
Sampling  47%|███████████████████▌                      |  ETA: 0:00:25
Sampling  47%|███████████████████▊                      |  ETA: 0:00:25
Sampling  48%|████████████████████                      |  ETA: 0:00:25
Sampling  48%|████████████████████▏                     |  ETA: 0:00:24
Sampling  49%|████████████████████▍                     |  ETA: 0:00:24
Sampling  49%|████████████████████▋                     |  ETA: 0:00:24
Sampling  50%|████████████████████▊                     |  ETA: 0:00:23
Sampling  50%|█████████████████████                     |  ETA: 0:00:23
Sampling  51%|█████████████████████▎                    |  ETA: 0:00:23
Sampling  51%|█████████████████████▍                    |  ETA: 0:00:23
Sampling  52%|█████████████████████▋                    |  ETA: 0:00:22
Sampling  52%|█████████████████████▉                    |  ETA: 0:00:22
Sampling  53%|██████████████████████▏                   |  ETA: 0:00:22
Sampling  53%|██████████████████████▎                   |  ETA: 0:00:21
Sampling  54%|██████████████████████▌                   |  ETA: 0:00:21
Sampling  54%|██████████████████████▋                   |  ETA: 0:00:21
Sampling  55%|██████████████████████▉                   |  ETA: 0:00:21
Sampling  55%|███████████████████████▏                  |  ETA: 0:00:20
Sampling  56%|███████████████████████▍                  |  ETA: 0:00:20
Sampling  56%|███████████████████████▌                  |  ETA: 0:00:20
Sampling  57%|███████████████████████▊                  |  ETA: 0:00:19
Sampling  57%|████████████████████████                  |  ETA: 0:00:19
Sampling  58%|████████████████████████▏                 |  ETA: 0:00:19
Sampling  58%|████████████████████████▍                 |  ETA: 0:00:19
Sampling  59%|████████████████████████▋                 |  ETA: 0:00:18
Sampling  59%|████████████████████████▊                 |  ETA: 0:00:18
Sampling  60%|█████████████████████████                 |  ETA: 0:00:18
Sampling  60%|█████████████████████████▎                |  ETA: 0:00:18
Sampling  61%|█████████████████████████▍                |  ETA: 0:00:17
Sampling  61%|█████████████████████████▋                |  ETA: 0:00:17
Sampling  62%|█████████████████████████▉                |  ETA: 0:00:17
Sampling  62%|██████████████████████████                |  ETA: 0:00:17
Sampling  63%|██████████████████████████▎               |  ETA: 0:00:16
Sampling  63%|██████████████████████████▌               |  ETA: 0:00:16
Sampling  64%|██████████████████████████▋               |  ETA: 0:00:16
Sampling  64%|██████████████████████████▉               |  ETA: 0:00:16
Sampling  65%|███████████████████████████▏              |  ETA: 0:00:16
Sampling  65%|███████████████████████████▎              |  ETA: 0:00:15
Sampling  66%|███████████████████████████▌              |  ETA: 0:00:15
Sampling  66%|███████████████████████████▊              |  ETA: 0:00:15
Sampling  67%|████████████████████████████              |  ETA: 0:00:15
Sampling  67%|████████████████████████████▏             |  ETA: 0:00:14
Sampling  68%|████████████████████████████▍             |  ETA: 0:00:14
Sampling  68%|████████████████████████████▌             |  ETA: 0:00:14
Sampling  69%|████████████████████████████▊             |  ETA: 0:00:14
Sampling  69%|█████████████████████████████             |  ETA: 0:00:13
Sampling  70%|█████████████████████████████▎            |  ETA: 0:00:13
Sampling  70%|█████████████████████████████▍            |  ETA: 0:00:13
Sampling  71%|█████████████████████████████▋            |  ETA: 0:00:13
Sampling  71%|█████████████████████████████▉            |  ETA: 0:00:12
Sampling  72%|██████████████████████████████            |  ETA: 0:00:12
Sampling  72%|██████████████████████████████▎           |  ETA: 0:00:12
Sampling  73%|██████████████████████████████▌           |  ETA: 0:00:12
Sampling  73%|██████████████████████████████▋           |  ETA: 0:00:12
Sampling  74%|██████████████████████████████▉           |  ETA: 0:00:11
Sampling  74%|███████████████████████████████▏          |  ETA: 0:00:11
Sampling  75%|███████████████████████████████▎          |  ETA: 0:00:11
Sampling  75%|███████████████████████████████▌          |  ETA: 0:00:11
Sampling  76%|███████████████████████████████▊          |  ETA: 0:00:10
Sampling  76%|███████████████████████████████▉          |  ETA: 0:00:10
Sampling  77%|████████████████████████████████▏         |  ETA: 0:00:10
Sampling  77%|████████████████████████████████▍         |  ETA: 0:00:10
Sampling  78%|████████████████████████████████▋         |  ETA: 0:00:09
Sampling  78%|████████████████████████████████▊         |  ETA: 0:00:09
Sampling  79%|█████████████████████████████████         |  ETA: 0:00:09
Sampling  79%|█████████████████████████████████▏        |  ETA: 0:00:09
Sampling  80%|█████████████████████████████████▍        |  ETA: 0:00:09
Sampling  80%|█████████████████████████████████▋        |  ETA: 0:00:08
Sampling  81%|█████████████████████████████████▉        |  ETA: 0:00:08
Sampling  81%|██████████████████████████████████        |  ETA: 0:00:08
Sampling  82%|██████████████████████████████████▎       |  ETA: 0:00:08
Sampling  82%|██████████████████████████████████▌       |  ETA: 0:00:08
Sampling  83%|██████████████████████████████████▋       |  ETA: 0:00:07
Sampling  83%|██████████████████████████████████▉       |  ETA: 0:00:07
Sampling  84%|███████████████████████████████████▏      |  ETA: 0:00:07
Sampling  84%|███████████████████████████████████▎      |  ETA: 0:00:07
Sampling  85%|███████████████████████████████████▌      |  ETA: 0:00:06
Sampling  85%|███████████████████████████████████▊      |  ETA: 0:00:06
Sampling  86%|███████████████████████████████████▉      |  ETA: 0:00:06
Sampling  86%|████████████████████████████████████▏     |  ETA: 0:00:06
Sampling  87%|████████████████████████████████████▍     |  ETA: 0:00:06
Sampling  87%|████████████████████████████████████▌     |  ETA: 0:00:05
Sampling  88%|████████████████████████████████████▊     |  ETA: 0:00:05
Sampling  88%|█████████████████████████████████████     |  ETA: 0:00:05
Sampling  89%|█████████████████████████████████████▏    |  ETA: 0:00:05
Sampling  89%|█████████████████████████████████████▍    |  ETA: 0:00:04
Sampling  90%|█████████████████████████████████████▋    |  ETA: 0:00:04
Sampling  90%|█████████████████████████████████████▊    |  ETA: 0:00:04
Sampling  91%|██████████████████████████████████████    |  ETA: 0:00:04
Sampling  91%|██████████████████████████████████████▎   |  ETA: 0:00:04
Sampling  92%|██████████████████████████████████████▌   |  ETA: 0:00:03
Sampling  92%|██████████████████████████████████████▋   |  ETA: 0:00:03
Sampling  93%|██████████████████████████████████████▉   |  ETA: 0:00:03
Sampling  93%|███████████████████████████████████████   |  ETA: 0:00:03
Sampling  94%|███████████████████████████████████████▎  |  ETA: 0:00:03
Sampling  94%|███████████████████████████████████████▌  |  ETA: 0:00:02
Sampling  95%|███████████████████████████████████████▊  |  ETA: 0:00:02
Sampling  95%|███████████████████████████████████████▉  |  ETA: 0:00:02
Sampling  96%|████████████████████████████████████████▏ |  ETA: 0:00:02
Sampling  96%|████████████████████████████████████████▍ |  ETA: 0:00:02
Sampling  97%|████████████████████████████████████████▌ |  ETA: 0:00:01
Sampling  97%|████████████████████████████████████████▊ |  ETA: 0:00:01
Sampling  98%|█████████████████████████████████████████ |  ETA: 0:00:01
Sampling  98%|█████████████████████████████████████████▏|  ETA: 0:00:01
Sampling  99%|█████████████████████████████████████████▍|  ETA: 0:00:01
Sampling  99%|█████████████████████████████████████████▋|  ETA: 0:00:00
Sampling 100%|█████████████████████████████████████████▊|  ETA: 0:00:00
Sampling 100%|██████████████████████████████████████████| Time: 0:00:40
Sampling 100%|██████████████████████████████████████████| Time: 0:00:40

  parameters      mean       std      mcse   ess_bulk   ess_tail      rhat   e ⋯
      Symbol   Float64   Float64   Float64    Float64    Float64   Float64     ⋯

           b    0.0534    0.0064    0.0004   222.7271   283.9426    0.9994     ⋯
           ā    0.0028    0.0039    0.0002   311.7625   364.4385    1.0041     ⋯
        a[1]    0.0006    0.0003    0.0000   207.0352   221.0552    1.0000     ⋯
        a[2]    0.0010    0.0005    0.0000   211.3546   236.8692    1.0003     ⋯
        a[3]    0.0017    0.0007    0.0001   212.0192   227.7851    0.9995     ⋯
           c    0.0087    0.0025    0.0002   221.7056   227.3546    0.9995     ⋯
           k    2.0726    0.9709    0.0352   434.0296   292.7296    1.0005     ⋯

                                                                1 column omitted

PRECIS(DataFrame(chain4))

risk_factors4 = [mean(chain4[Symbol("a[$f]")]) for f in 1:3]

3-element Vector{Float64}:
 0.0005616444562408539
 0.001007199288486119
 0.0016566745095824135

let data = data2
    data_weight = data.exposures ./ sum(data.exposures)
    data_weight = .√(data_weight ./ maximum(data_weight) .* 20) .* 4

    risk_colors = CASSETTE_PALETTE[1:3]
    point_colors = [risk_colors[r] for r in Int.(data.risklevel)]

    fig = Figure()
    ax = Axis(fig[1,1]; xlabel="age", ylabel="mortality rate",
        title="Parametric Bayesian Mortality")

    n = 100
    ages = sort!(unique(data.att_age))
    for r in 1:3, i in 1:n
        s = sample(chain4, 1)
        a = only(s[Symbol("a[$r]")])
        b = only(s[:b]); k = only(s[:k]); c = 0
        m = MortalityTables.MakehamBeard(; a, b, c, k)
        lines!(ax, ages, age -> MortalityTables.hazard(m, age);
            color=(risk_colors[r], 0.12), linewidth=0.8,
            label = (i == 1 ? "risk level $r" : nothing))
    end

    scatter!(ax, data.att_age, data.fraction;
        markersize=data_weight, color=point_colors, strokewidth=0)

    ylims!(ax, 0.0, 0.25)
    axislegend(ax, position=:rt, unique=true)
    fig
end

Predictions

We can generate predictive estimates by passing a vector of missing in place of the outcome variables and then calling predict.

We get a table of values where each row is the the prediction implied by the corresponding chain sample, and the columns are the predicted value for each of the outcomes in our original dataset.

preds = predict(mortality4(data2, fill(missing, length(data2.deaths))), chain4)

Chains MCMC chain (1000×532×1 Array{Float64, 3}):

Iterations        = 1:1:1000
Number of chains  = 1
Samples per chain = 1000
parameters        = deaths[1], deaths[2], deaths[3], deaths[4], deaths[5], deaths[6], deaths[7], deaths[8], deaths[9], deaths[10], deaths[11], deaths[12], deaths[13], deaths[14], deaths[15], deaths[16], deaths[17], deaths[18], deaths[19], deaths[20], deaths[21], deaths[22], deaths[23], deaths[24], deaths[25], deaths[26], deaths[27], deaths[28], deaths[29], deaths[30], deaths[31], deaths[32], deaths[33], deaths[34], deaths[35], deaths[36], deaths[37], deaths[38], deaths[39], deaths[40], deaths[41], deaths[42], deaths[43], deaths[44], deaths[45], deaths[46], deaths[47], deaths[48], deaths[49], deaths[50], deaths[51], deaths[52], deaths[53], deaths[54], deaths[55], deaths[56], deaths[57], deaths[58], deaths[59], deaths[60], deaths[61], deaths[62], deaths[63], deaths[64], deaths[65], deaths[66], deaths[67], deaths[68], deaths[69], deaths[70], deaths[71], deaths[72], deaths[73], deaths[74], deaths[75], deaths[76], deaths[77], deaths[78], deaths[79], deaths[80], deaths[81], deaths[82], deaths[83], deaths[84], deaths[85], deaths[86], deaths[87], deaths[88], deaths[89], deaths[90], deaths[91], deaths[92], deaths[93], deaths[94], deaths[95], deaths[96], deaths[97], deaths[98], deaths[99], deaths[100], deaths[101], deaths[102], deaths[103], deaths[104], deaths[105], deaths[106], deaths[107], deaths[108], deaths[109], deaths[110], deaths[111], deaths[112], deaths[113], deaths[114], deaths[115], deaths[116], deaths[117], deaths[118], deaths[119], deaths[120], deaths[121], deaths[122], deaths[123], deaths[124], deaths[125], deaths[126], deaths[127], deaths[128], deaths[129], deaths[130], deaths[131], deaths[132], deaths[133], deaths[134], deaths[135], deaths[136], deaths[137], deaths[138], deaths[139], deaths[140], deaths[141], deaths[142], deaths[143], deaths[144], deaths[145], deaths[146], deaths[147], deaths[148], deaths[149], deaths[150], deaths[151], deaths[152], deaths[153], deaths[154], deaths[155], deaths[156], deaths[157], deaths[158], deaths[159], deaths[160], deaths[161], deaths[162], deaths[163], deaths[164], deaths[165], deaths[166], deaths[167], deaths[168], deaths[169], deaths[170], deaths[171], deaths[172], deaths[173], deaths[174], deaths[175], deaths[176], deaths[177], deaths[178], deaths[179], deaths[180], deaths[181], deaths[182], deaths[183], deaths[184], deaths[185], deaths[186], deaths[187], deaths[188], deaths[189], deaths[190], deaths[191], deaths[192], deaths[193], deaths[194], deaths[195], deaths[196], deaths[197], deaths[198], deaths[199], deaths[200], deaths[201], deaths[202], deaths[203], deaths[204], deaths[205], deaths[206], deaths[207], deaths[208], deaths[209], deaths[210], deaths[211], deaths[212], deaths[213], deaths[214], deaths[215], deaths[216], deaths[217], deaths[218], deaths[219], deaths[220], deaths[221], deaths[222], deaths[223], deaths[224], deaths[225], deaths[226], deaths[227], deaths[228], deaths[229], deaths[230], deaths[231], deaths[232], deaths[233], deaths[234], deaths[235], deaths[236], deaths[237], deaths[238], deaths[239], deaths[240], deaths[241], deaths[242], deaths[243], deaths[244], deaths[245], deaths[246], deaths[247], deaths[248], deaths[249], deaths[250], deaths[251], deaths[252], deaths[253], deaths[254], deaths[255], deaths[256], deaths[257], deaths[258], deaths[259], deaths[260], deaths[261], deaths[262], deaths[263], deaths[264], deaths[265], deaths[266], deaths[267], deaths[268], deaths[269], deaths[270], deaths[271], deaths[272], deaths[273], deaths[274], deaths[275], deaths[276], deaths[277], deaths[278], deaths[279], deaths[280], deaths[281], deaths[282], deaths[283], deaths[284], deaths[285], deaths[286], deaths[287], deaths[288], deaths[289], deaths[290], deaths[291], deaths[292], deaths[293], deaths[294], deaths[295], deaths[296], deaths[297], deaths[298], deaths[299], deaths[300], deaths[301], deaths[302], deaths[303], deaths[304], deaths[305], deaths[306], deaths[307], deaths[308], deaths[309], deaths[310], deaths[311], deaths[312], deaths[313], deaths[314], deaths[315], deaths[316], deaths[317], deaths[318], deaths[319], deaths[320], deaths[321], deaths[322], deaths[323], deaths[324], deaths[325], deaths[326], deaths[327], deaths[328], deaths[329], deaths[330], deaths[331], deaths[332], deaths[333], deaths[334], deaths[335], deaths[336], deaths[337], deaths[338], deaths[339], deaths[340], deaths[341], deaths[342], deaths[343], deaths[344], deaths[345], deaths[346], deaths[347], deaths[348], deaths[349], deaths[350], deaths[351], deaths[352], deaths[353], deaths[354], deaths[355], deaths[356], deaths[357], deaths[358], deaths[359], deaths[360], deaths[361], deaths[362], deaths[363], deaths[364], deaths[365], deaths[366], deaths[367], deaths[368], deaths[369], deaths[370], deaths[371], deaths[372], deaths[373], deaths[374], deaths[375], deaths[376], deaths[377], deaths[378], deaths[379], deaths[380], deaths[381], deaths[382], deaths[383], deaths[384], deaths[385], deaths[386], deaths[387], deaths[388], deaths[389], deaths[390], deaths[391], deaths[392], deaths[393], deaths[394], deaths[395], deaths[396], deaths[397], deaths[398], deaths[399], deaths[400], deaths[401], deaths[402], deaths[403], deaths[404], deaths[405], deaths[406], deaths[407], deaths[408], deaths[409], deaths[410], deaths[411], deaths[412], deaths[413], deaths[414], deaths[415], deaths[416], deaths[417], deaths[418], deaths[419], deaths[420], deaths[421], deaths[422], deaths[423], deaths[424], deaths[425], deaths[426], deaths[427], deaths[428], deaths[429], deaths[430], deaths[431], deaths[432], deaths[433], deaths[434], deaths[435], deaths[436], deaths[437], deaths[438], deaths[439], deaths[440], deaths[441], deaths[442], deaths[443], deaths[444], deaths[445], deaths[446], deaths[447], deaths[448], deaths[449], deaths[450], deaths[451], deaths[452], deaths[453], deaths[454], deaths[455], deaths[456], deaths[457], deaths[458], deaths[459], deaths[460], deaths[461], deaths[462], deaths[463], deaths[464], deaths[465], deaths[466], deaths[467], deaths[468], deaths[469], deaths[470], deaths[471], deaths[472], deaths[473], deaths[474], deaths[475], deaths[476], deaths[477], deaths[478], deaths[479], deaths[480], deaths[481], deaths[482], deaths[483], deaths[484], deaths[485], deaths[486], deaths[487], deaths[488], deaths[489], deaths[490], deaths[491], deaths[492], deaths[493], deaths[494], deaths[495], deaths[496], deaths[497], deaths[498], deaths[499], deaths[500], deaths[501], deaths[502], deaths[503], deaths[504], deaths[505], deaths[506], deaths[507], deaths[508], deaths[509], deaths[510], deaths[511], deaths[512], deaths[513], deaths[514], deaths[515], deaths[516], deaths[517], deaths[518], deaths[519], deaths[520], deaths[521], deaths[522], deaths[523], deaths[524], deaths[525], deaths[526], deaths[527], deaths[528], deaths[529], deaths[530], deaths[531], deaths[532]
internals         = 

Use `describe(chains)` for summary statistics and quantiles.