Bayesian Markov-Chain-Monte-Carlo and Claims Data

using MortalityTables
using Turing
using UUIDs
using DataFramesMeta
using MCMCChains, Plots, StatsPlots
using LinearAlgebra
using Pipe
using StatsFuns

Generating fake data

The problem of interest is to look at mortality rates, which are given in terms of exposures (whether or not a life experienced a death in a given year).

We’ll grab some example rates from an insurance table, which has a “selection” component: When someone enters observation, say at age 50, their mortality is path dependent (so for someone who started being observed at 50 will have a different risk/mortality rate at age 55 than someone who started being observed at 45).

Addtionally, there may be additional groups of interest, such as: - high/medium/low risk classification - sex - group (e.g. company, data source, etc.) - type of insurance product offered

The example data will start with only the risk classification above

src = MortalityTables.table("2001 VBT Residual Standard Select and Ultimate - Male Nonsmoker, ANB")

MortalityTable (Insured Lives Mortality):
   Name:
       2001 VBT Residual Standard Select and Ultimate - Male Nonsmoker, ANB
   Fields: 
       (:select, :ultimate, :metadata)
   Provider:
       Society of Actuaries
   mort.SOA.org ID:
       1118
   mort.SOA.org link:
       https://mort.soa.org/ViewTable.aspx?&TableIdentity=1118
   Description:
       2001 Valuation Basic Table (VBT) Residual Standard Select and Ultimate Table -  Male Nonsmoker. Basis: Age Nearest Birthday. Minimum Select Age: 0. Maximum Select Age: 99. Minimum Ultimate Age: 25. Maximum Ultimate Age: 120

n = 10_000

function generate_data_individual(tbl, issue_age=rand(50:55), inforce_years=rand(1:30), risklevel=rand(1:3))
    # risk_factors will scale the "true" parameter up or down
    # we observe the assigned risklevel, but not risk_factor
    risk_factors = [0.7, 1.0, 1.5]
    rf = risk_factors[risklevel]
    deaths = rand(inforce_years) .< (tbl.select[issue_age][issue_age.+inforce_years.-1] .* rf)

    endpoint = if sum(deaths) == 0
        last(inforce_years)
    else
        findfirst(deaths)
    end
    id = uuid1()
    map(1:endpoint) do i
        (
            issue_age=issue_age,
            risklevel=risklevel,
            att_age=issue_age + i - 1,
            death=deaths[i],
            id=id,
        )
    end

end

exposures = vcat([generate_data_individual(src) for _ in 1:n]...) |> DataFrame

110415×5 DataFrame

110390 rows omitted

Row	issue_age	risklevel	att_age	death	id
	Int64	Int64	Int64	Bool	Base.UUID
1	50	2	50	false	95a1a3d0-4e5f-11f0-182e-97959ef3003d
2	50	2	51	false	95a1a3d0-4e5f-11f0-182e-97959ef3003d
3	50	2	52	false	95a1a3d0-4e5f-11f0-182e-97959ef3003d
4	50	2	53	false	95a1a3d0-4e5f-11f0-182e-97959ef3003d
5	50	2	54	false	95a1a3d0-4e5f-11f0-182e-97959ef3003d
6	50	2	55	false	95a1a3d0-4e5f-11f0-182e-97959ef3003d
7	50	2	56	false	95a1a3d0-4e5f-11f0-182e-97959ef3003d
8	50	2	57	false	95a1a3d0-4e5f-11f0-182e-97959ef3003d
9	50	2	58	false	95a1a3d0-4e5f-11f0-182e-97959ef3003d
10	50	2	59	false	95a1a3d0-4e5f-11f0-182e-97959ef3003d
11	50	2	60	false	95a1a3d0-4e5f-11f0-182e-97959ef3003d
12	50	3	50	false	95a575b4-4e5f-11f0-032d-effd0f5f8a93
13	50	3	51	false	95a575b4-4e5f-11f0-032d-effd0f5f8a93
⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮
110404	51	2	66	false	95a81b8e-4e5f-11f0-2d98-bf8b7a139ca5
110405	51	2	67	false	95a81b8e-4e5f-11f0-2d98-bf8b7a139ca5
110406	51	2	68	false	95a81b8e-4e5f-11f0-2d98-bf8b7a139ca5
110407	51	2	69	false	95a81b8e-4e5f-11f0-2d98-bf8b7a139ca5
110408	51	2	70	false	95a81b8e-4e5f-11f0-2d98-bf8b7a139ca5
110409	54	1	54	false	95a81ba0-4e5f-11f0-1a2f-2f3072a3c1da
110410	54	1	55	false	95a81ba0-4e5f-11f0-1a2f-2f3072a3c1da
110411	54	1	56	false	95a81ba0-4e5f-11f0-1a2f-2f3072a3c1da
110412	54	1	57	false	95a81ba0-4e5f-11f0-1a2f-2f3072a3c1da
110413	54	1	58	false	95a81ba0-4e5f-11f0-1a2f-2f3072a3c1da
110414	54	1	59	false	95a81ba0-4e5f-11f0-1a2f-2f3072a3c1da
110415	54	1	60	false	95a81ba0-4e5f-11f0-1a2f-2f3072a3c1da

Two groupings, one with and without the risk level:

data = combine(groupby(exposures, [:issue_age, :att_age])) do subdf
    (exposures=nrow(subdf),
        deaths=sum(subdf.death),
        fraction=sum(subdf.death) / nrow(subdf))
end

180×5 DataFrame

155 rows omitted

Row	issue_age	att_age	exposures	deaths	fraction
	Int64	Int64	Int64	Int64	Float64
1	50	50	1593	29	0.0182046
2	50	51	1511	21	0.0138981
3	50	52	1438	23	0.0159944
4	50	53	1357	33	0.0243183
5	50	54	1280	25	0.0195312
6	50	55	1213	28	0.0230833
7	50	56	1132	15	0.0132509
8	50	57	1070	17	0.0158879
9	50	58	997	22	0.0220662
10	50	59	923	31	0.0335861
11	50	60	836	21	0.0251196
12	50	61	762	22	0.0288714
13	50	62	695	15	0.0215827
⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮
169	55	73	226	17	0.0752212
170	55	74	174	6	0.0344828
171	55	75	137	7	0.0510949
172	55	76	107	7	0.0654206
173	55	77	75	4	0.0533333
174	55	78	57	1	0.0175439
175	55	79	42	2	0.047619
176	55	80	34	2	0.0588235
177	55	81	17	2	0.117647
178	55	82	11	1	0.0909091
179	55	83	7	1	0.142857
180	55	84	3	0	0.0

data2 = combine(groupby(exposures, [:issue_age, :att_age, :risklevel])) do subdf
    (exposures=nrow(subdf),
        deaths=sum(subdf.death),
        fraction=sum(subdf.death) / nrow(subdf))
end

533×6 DataFrame

508 rows omitted

Row	issue_age	att_age	risklevel	exposures	deaths	fraction
	Int64	Int64	Int64	Int64	Int64	Float64
1	50	50	1	511	4	0.00782779
2	50	50	2	537	8	0.0148976
3	50	50	3	545	17	0.0311927
4	50	51	1	489	5	0.0102249
5	50	51	2	513	7	0.0136452
6	50	51	3	509	9	0.0176817
7	50	52	1	472	2	0.00423729
8	50	52	2	487	10	0.0205339
9	50	52	3	479	11	0.0229645
10	50	53	1	454	6	0.0132159
11	50	53	2	454	12	0.0264317
12	50	53	3	449	15	0.0334076
13	50	54	1	438	3	0.00684932
⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮
522	55	80	2	9	0	0.0
523	55	80	3	7	1	0.142857
524	55	81	1	10	1	0.1
525	55	81	2	4	1	0.25
526	55	81	3	3	0	0.0
527	55	82	1	7	0	0.0
528	55	82	2	2	1	0.5
529	55	82	3	2	0	0.0
530	55	83	1	6	1	0.166667
531	55	83	3	1	0	0.0
532	55	84	1	2	0	0.0
533	55	84	3	1	0	0.0

1: A single binomial parameter model

Estimate $p$, the average mortality rate, not accounting for any variation within the population/sample:

@model function mortality(data, deaths)
    p ~ Beta(1, 1)
    for i = 1:nrow(data)
        deaths[i] ~ Binomial(data.exposures[i], p)
    end
end


m1 = mortality(data, data.deaths)

num_chains = 4

4

Sampling from the posterior

We use a No-U-Turn-Sampler (NUTS) technique to sample multiple chains at once:

chain = sample(m1, NUTS(), 1000)

plot(chain)

Sampling   0%|                                          |  ETA: N/A
┌ Info: Found initial step size
└   ϵ = 0.0125
Sampling   0%|▎                                         |  ETA: 0:09:18
Sampling   1%|▍                                         |  ETA: 0:04:39
Sampling   1%|▋                                         |  ETA: 0:03:05
Sampling   2%|▊                                         |  ETA: 0:02:18
Sampling   2%|█                                         |  ETA: 0:01:50
Sampling   3%|█▏                                        |  ETA: 0:01:31
Sampling   3%|█▍                                        |  ETA: 0:01:18
Sampling   4%|█▋                                        |  ETA: 0:01:08
Sampling   4%|█▊                                        |  ETA: 0:01:00
Sampling   5%|██                                        |  ETA: 0:00:54
Sampling   5%|██▏                                       |  ETA: 0:00:49
Sampling   6%|██▍                                       |  ETA: 0:00:44
Sampling   6%|██▌                                       |  ETA: 0:00:41
Sampling   7%|██▊                                       |  ETA: 0:00:38
Sampling   7%|███                                       |  ETA: 0:00:35
Sampling   7%|███▏                                      |  ETA: 0:00:33
Sampling   8%|███▍                                      |  ETA: 0:00:31
Sampling   8%|███▌                                      |  ETA: 0:00:29
Sampling   9%|███▊                                      |  ETA: 0:00:27
Sampling   9%|███▉                                      |  ETA: 0:00:26
Sampling  10%|████▏                                     |  ETA: 0:00:24
Sampling  10%|████▎                                     |  ETA: 0:00:23
Sampling  11%|████▌                                     |  ETA: 0:00:22
Sampling  11%|████▊                                     |  ETA: 0:00:21
Sampling  12%|████▉                                     |  ETA: 0:00:20
Sampling  12%|█████▏                                    |  ETA: 0:00:19
Sampling  13%|█████▎                                    |  ETA: 0:00:18
Sampling  13%|█████▌                                    |  ETA: 0:00:18
Sampling  14%|█████▋                                    |  ETA: 0:00:17
Sampling  14%|█████▉                                    |  ETA: 0:00:16
Sampling  14%|██████▏                                   |  ETA: 0:00:16
Sampling  15%|██████▎                                   |  ETA: 0:00:15
Sampling  15%|██████▌                                   |  ETA: 0:00:15
Sampling  16%|██████▋                                   |  ETA: 0:00:14
Sampling  16%|██████▉                                   |  ETA: 0:00:14
Sampling  17%|███████                                   |  ETA: 0:00:13
Sampling  17%|███████▎                                  |  ETA: 0:00:13
Sampling  18%|███████▌                                  |  ETA: 0:00:12
Sampling  18%|███████▋                                  |  ETA: 0:00:12
Sampling  19%|███████▉                                  |  ETA: 0:00:12
Sampling  19%|████████                                  |  ETA: 0:00:11
Sampling  20%|████████▎                                 |  ETA: 0:00:11
Sampling  20%|████████▍                                 |  ETA: 0:00:11
Sampling  21%|████████▋                                 |  ETA: 0:00:10
Sampling  21%|████████▉                                 |  ETA: 0:00:10
Sampling  21%|█████████                                 |  ETA: 0:00:10
Sampling  22%|█████████▎                                |  ETA: 0:00:10
Sampling  22%|█████████▍                                |  ETA: 0:00:09
Sampling  23%|█████████▋                                |  ETA: 0:00:09
Sampling  23%|█████████▊                                |  ETA: 0:00:09
Sampling  24%|██████████                                |  ETA: 0:00:09
Sampling  24%|██████████▎                               |  ETA: 0:00:08
Sampling  25%|██████████▍                               |  ETA: 0:00:08
Sampling  25%|██████████▋                               |  ETA: 0:00:08
Sampling  26%|██████████▊                               |  ETA: 0:00:08
Sampling  26%|███████████                               |  ETA: 0:00:08
Sampling  27%|███████████▏                              |  ETA: 0:00:07
Sampling  27%|███████████▍                              |  ETA: 0:00:07
Sampling  28%|███████████▋                              |  ETA: 0:00:07
Sampling  28%|███████████▊                              |  ETA: 0:00:07
Sampling  28%|████████████                              |  ETA: 0:00:07
Sampling  29%|████████████▏                             |  ETA: 0:00:07
Sampling  29%|████████████▍                             |  ETA: 0:00:06
Sampling  30%|████████████▌                             |  ETA: 0:00:06
Sampling  30%|████████████▊                             |  ETA: 0:00:06
Sampling  31%|████████████▉                             |  ETA: 0:00:06
Sampling  31%|█████████████▏                            |  ETA: 0:00:06
Sampling  32%|█████████████▍                            |  ETA: 0:00:06
Sampling  32%|█████████████▌                            |  ETA: 0:00:06
Sampling  33%|█████████████▊                            |  ETA: 0:00:06
Sampling  33%|█████████████▉                            |  ETA: 0:00:05
Sampling  34%|██████████████▏                           |  ETA: 0:00:05
Sampling  34%|██████████████▎                           |  ETA: 0:00:05
Sampling  35%|██████████████▌                           |  ETA: 0:00:05
Sampling  35%|██████████████▊                           |  ETA: 0:00:05
Sampling  35%|██████████████▉                           |  ETA: 0:00:05
Sampling  36%|███████████████▏                          |  ETA: 0:00:05
Sampling  36%|███████████████▎                          |  ETA: 0:00:05
Sampling  37%|███████████████▌                          |  ETA: 0:00:05
Sampling  37%|███████████████▋                          |  ETA: 0:00:05
Sampling  38%|███████████████▉                          |  ETA: 0:00:05
Sampling  38%|████████████████▏                         |  ETA: 0:00:04
Sampling  39%|████████████████▎                         |  ETA: 0:00:04
Sampling  39%|████████████████▌                         |  ETA: 0:00:04
Sampling  40%|████████████████▋                         |  ETA: 0:00:04
Sampling  40%|████████████████▉                         |  ETA: 0:00:04
Sampling  41%|█████████████████                         |  ETA: 0:00:04
Sampling  41%|█████████████████▎                        |  ETA: 0:00:04
Sampling  42%|█████████████████▌                        |  ETA: 0:00:04
Sampling  42%|█████████████████▋                        |  ETA: 0:00:04
Sampling  42%|█████████████████▉                        |  ETA: 0:00:04
Sampling  43%|██████████████████                        |  ETA: 0:00:04
Sampling  43%|██████████████████▎                       |  ETA: 0:00:04
Sampling  44%|██████████████████▍                       |  ETA: 0:00:04
Sampling  44%|██████████████████▋                       |  ETA: 0:00:03
Sampling  45%|██████████████████▉                       |  ETA: 0:00:03
Sampling  45%|███████████████████                       |  ETA: 0:00:03
Sampling  46%|███████████████████▎                      |  ETA: 0:00:03
Sampling  46%|███████████████████▍                      |  ETA: 0:00:03
Sampling  47%|███████████████████▋                      |  ETA: 0:00:03
Sampling  47%|███████████████████▊                      |  ETA: 0:00:03
Sampling  48%|████████████████████                      |  ETA: 0:00:03
Sampling  48%|████████████████████▎                     |  ETA: 0:00:03
Sampling  49%|████████████████████▍                     |  ETA: 0:00:03
Sampling  49%|████████████████████▋                     |  ETA: 0:00:03
Sampling  49%|████████████████████▊                     |  ETA: 0:00:03
Sampling  50%|█████████████████████                     |  ETA: 0:00:03
Sampling  50%|█████████████████████▏                    |  ETA: 0:00:03
Sampling  51%|█████████████████████▍                    |  ETA: 0:00:03
Sampling  51%|█████████████████████▌                    |  ETA: 0:00:03
Sampling  52%|█████████████████████▊                    |  ETA: 0:00:03
Sampling  52%|██████████████████████                    |  ETA: 0:00:03
Sampling  53%|██████████████████████▏                   |  ETA: 0:00:02
Sampling  53%|██████████████████████▍                   |  ETA: 0:00:02
Sampling  54%|██████████████████████▌                   |  ETA: 0:00:02
Sampling  54%|██████████████████████▊                   |  ETA: 0:00:02
Sampling  55%|██████████████████████▉                   |  ETA: 0:00:02
Sampling  55%|███████████████████████▏                  |  ETA: 0:00:02
Sampling  56%|███████████████████████▍                  |  ETA: 0:00:02
Sampling  56%|███████████████████████▌                  |  ETA: 0:00:02
Sampling  56%|███████████████████████▊                  |  ETA: 0:00:02
Sampling  57%|███████████████████████▉                  |  ETA: 0:00:02
Sampling  57%|████████████████████████▏                 |  ETA: 0:00:02
Sampling  58%|████████████████████████▎                 |  ETA: 0:00:02
Sampling  58%|████████████████████████▌                 |  ETA: 0:00:02
Sampling  59%|████████████████████████▊                 |  ETA: 0:00:02
Sampling  59%|████████████████████████▉                 |  ETA: 0:00:02
Sampling  60%|█████████████████████████▏                |  ETA: 0:00:02
Sampling  60%|█████████████████████████▎                |  ETA: 0:00:02
Sampling  61%|█████████████████████████▌                |  ETA: 0:00:02
Sampling  61%|█████████████████████████▋                |  ETA: 0:00:02
Sampling  62%|█████████████████████████▉                |  ETA: 0:00:02
Sampling  62%|██████████████████████████▏               |  ETA: 0:00:02
Sampling  63%|██████████████████████████▎               |  ETA: 0:00:02
Sampling  63%|██████████████████████████▌               |  ETA: 0:00:02
Sampling  63%|██████████████████████████▋               |  ETA: 0:00:02
Sampling  64%|██████████████████████████▉               |  ETA: 0:00:02
Sampling  64%|███████████████████████████               |  ETA: 0:00:02
Sampling  65%|███████████████████████████▎              |  ETA: 0:00:02
Sampling  65%|███████████████████████████▌              |  ETA: 0:00:01
Sampling  66%|███████████████████████████▋              |  ETA: 0:00:01
Sampling  66%|███████████████████████████▉              |  ETA: 0:00:01
Sampling  67%|████████████████████████████              |  ETA: 0:00:01
Sampling  67%|████████████████████████████▎             |  ETA: 0:00:01
Sampling  68%|████████████████████████████▍             |  ETA: 0:00:01
Sampling  68%|████████████████████████████▋             |  ETA: 0:00:01
Sampling  69%|████████████████████████████▊             |  ETA: 0:00:01
Sampling  69%|█████████████████████████████             |  ETA: 0:00:01
Sampling  70%|█████████████████████████████▎            |  ETA: 0:00:01
Sampling  70%|█████████████████████████████▍            |  ETA: 0:00:01
Sampling  70%|█████████████████████████████▋            |  ETA: 0:00:01
Sampling  71%|█████████████████████████████▊            |  ETA: 0:00:01
Sampling  71%|██████████████████████████████            |  ETA: 0:00:01
Sampling  72%|██████████████████████████████▏           |  ETA: 0:00:01
Sampling  72%|██████████████████████████████▍           |  ETA: 0:00:01
Sampling  73%|██████████████████████████████▋           |  ETA: 0:00:01
Sampling  73%|██████████████████████████████▊           |  ETA: 0:00:01
Sampling  74%|███████████████████████████████           |  ETA: 0:00:01
Sampling  74%|███████████████████████████████▏          |  ETA: 0:00:01
Sampling  75%|███████████████████████████████▍          |  ETA: 0:00:01
Sampling  75%|███████████████████████████████▌          |  ETA: 0:00:01
Sampling  76%|███████████████████████████████▊          |  ETA: 0:00:01
Sampling  76%|████████████████████████████████          |  ETA: 0:00:01
Sampling  77%|████████████████████████████████▏         |  ETA: 0:00:01
Sampling  77%|████████████████████████████████▍         |  ETA: 0:00:01
Sampling  77%|████████████████████████████████▌         |  ETA: 0:00:01
Sampling  78%|████████████████████████████████▊         |  ETA: 0:00:01
Sampling  78%|████████████████████████████████▉         |  ETA: 0:00:01
Sampling  79%|█████████████████████████████████▏        |  ETA: 0:00:01
Sampling  79%|█████████████████████████████████▍        |  ETA: 0:00:01
Sampling  80%|█████████████████████████████████▌        |  ETA: 0:00:01
Sampling  80%|█████████████████████████████████▊        |  ETA: 0:00:01
Sampling  81%|█████████████████████████████████▉        |  ETA: 0:00:01
Sampling  81%|██████████████████████████████████▏       |  ETA: 0:00:01
Sampling  82%|██████████████████████████████████▎       |  ETA: 0:00:01
Sampling  82%|██████████████████████████████████▌       |  ETA: 0:00:01
Sampling  83%|██████████████████████████████████▊       |  ETA: 0:00:01
Sampling  83%|██████████████████████████████████▉       |  ETA: 0:00:01
Sampling  84%|███████████████████████████████████▏      |  ETA: 0:00:01
Sampling  84%|███████████████████████████████████▎      |  ETA: 0:00:01
Sampling  84%|███████████████████████████████████▌      |  ETA: 0:00:01
Sampling  85%|███████████████████████████████████▋      |  ETA: 0:00:01
Sampling  85%|███████████████████████████████████▉      |  ETA: 0:00:00
Sampling  86%|████████████████████████████████████▏     |  ETA: 0:00:00
Sampling  86%|████████████████████████████████████▎     |  ETA: 0:00:00
Sampling  87%|████████████████████████████████████▌     |  ETA: 0:00:00
Sampling  87%|████████████████████████████████████▋     |  ETA: 0:00:00
Sampling  88%|████████████████████████████████████▉     |  ETA: 0:00:00
Sampling  88%|█████████████████████████████████████     |  ETA: 0:00:00
Sampling  89%|█████████████████████████████████████▎    |  ETA: 0:00:00
Sampling  89%|█████████████████████████████████████▍    |  ETA: 0:00:00
Sampling  90%|█████████████████████████████████████▋    |  ETA: 0:00:00
Sampling  90%|█████████████████████████████████████▉    |  ETA: 0:00:00
Sampling  91%|██████████████████████████████████████    |  ETA: 0:00:00
Sampling  91%|██████████████████████████████████████▎   |  ETA: 0:00:00
Sampling  91%|██████████████████████████████████████▍   |  ETA: 0:00:00
Sampling  92%|██████████████████████████████████████▋   |  ETA: 0:00:00
Sampling  92%|██████████████████████████████████████▊   |  ETA: 0:00:00
Sampling  93%|███████████████████████████████████████   |  ETA: 0:00:00
Sampling  93%|███████████████████████████████████████▎  |  ETA: 0:00:00
Sampling  94%|███████████████████████████████████████▍  |  ETA: 0:00:00
Sampling  94%|███████████████████████████████████████▋  |  ETA: 0:00:00
Sampling  95%|███████████████████████████████████████▊  |  ETA: 0:00:00
Sampling  95%|████████████████████████████████████████  |  ETA: 0:00:00
Sampling  96%|████████████████████████████████████████▏ |  ETA: 0:00:00
Sampling  96%|████████████████████████████████████████▍ |  ETA: 0:00:00
Sampling  97%|████████████████████████████████████████▋ |  ETA: 0:00:00
Sampling  97%|████████████████████████████████████████▊ |  ETA: 0:00:00
Sampling  98%|█████████████████████████████████████████ |  ETA: 0:00:00
Sampling  98%|█████████████████████████████████████████▏|  ETA: 0:00:00
Sampling  98%|█████████████████████████████████████████▍|  ETA: 0:00:00
Sampling  99%|█████████████████████████████████████████▌|  ETA: 0:00:00
Sampling  99%|█████████████████████████████████████████▊|  ETA: 0:00:00
Sampling 100%|██████████████████████████████████████████|  ETA: 0:00:00
Sampling 100%|██████████████████████████████████████████| Time: 0:00:02

Plotting samples from the posterior

We can see that the sampling of possible posterior parameters doesn’t really fit the data very well since our model was so simplified. The lines represent the posterior binomial probability.

This is saying that for the observed data, if there really is just a single probability p that governs the true process that came up with the data, there’s a pretty narrow range of values it could possibly be:

let
    data_weight = data.exposures ./ sum(data.exposures)
    data_weight = .√(data_weight ./ maximum(data_weight) .* 20)

    p = scatter(
        data.att_age,
        data.fraction,
        markersize=data_weight,
        alpha=0.5,
        label="Experience data point (size indicates relative exposure quantity)",
        xlabel="age",
        ylim=(0.0, 0.25),
        ylabel="mortality rate",
        title="Parametric Bayseian Mortality"
    )

    # show n samples from the posterior plotted on the graph
    n = 300
    ages = sort!(unique(data.att_age))

    for i in 1:n
        p_posterior = sample(chain, 1)[:p][1]
        hline!([p_posterior], label="", alpha=0.1)
    end
    p

end

The posterior mean of p is of course very close to the simple proportoin of claims to exposures:

let
    a = mean(chain, :p)
    b = sum(data.deaths) / sum(data.exposures)
    a, b
end

(0.029440898171244314, 0.02946157677851741)

2. Parametric model

In this example, we utilize a MakehamBeard parameterization because it’s already very similar in form to a logistic function. This is important because our desired output is a probability (ie the probablity of a death at a given age), so the value must be constrained to be in the interval between zero and one.

The prior values for a,b,c, and k are chosen to constrain the hazard (mortality) rate to be between zero and one.

This isn’t an ideal parameterization (e.g. we aren’t including information about the select underwriting period), but is an example of utilizing Bayesian techniques on life experience data.

@model function mortality2(data, deaths)
    a ~ Exponential(0.1)
    b ~ Exponential(0.1)
    c = 0.0
    k ~ truncated(Exponential(1), 1, Inf)

    # use the variables to create a parametric mortality model
    m = MortalityTables.MakehamBeard(; a, b, c, k)

    # loop through the rows of the dataframe to let Turing observe the data 
    # and how consistent the parameters are with the data
    for i = 1:nrow(data)
        age = data.att_age[i]
        q = MortalityTables.hazard(m, age)
        deaths[i] ~ Binomial(data.exposures[i], q)
    end
end

mortality2 (generic function with 2 methods)

Sampling from the posterior

We combine the model with the data and a use use a No-U-Turn-Sampler (NUTS) technique to sample:

m2 = mortality2(data, data.deaths)
chain2 = sample(m2, NUTS(), 1000)
summarize(chain2)

Sampling   0%|                                          |  ETA: N/A
┌ Info: Found initial step size
└   ϵ = 0.0125
Sampling   0%|▎                                         |  ETA: 0:06:18
Sampling   1%|▍                                         |  ETA: 0:03:08
Sampling   1%|▋                                         |  ETA: 0:02:09
Sampling   2%|▊                                         |  ETA: 0:01:40
Sampling   2%|█                                         |  ETA: 0:01:21
Sampling   3%|█▏                                        |  ETA: 0:01:09
Sampling   3%|█▍                                        |  ETA: 0:01:00
Sampling   4%|█▋                                        |  ETA: 0:00:55
Sampling   4%|█▊                                        |  ETA: 0:00:50
Sampling   5%|██                                        |  ETA: 0:00:45
Sampling   5%|██▏                                       |  ETA: 0:00:42
Sampling   6%|██▍                                       |  ETA: 0:00:39
Sampling   6%|██▌                                       |  ETA: 0:00:36
Sampling   7%|██▊                                       |  ETA: 0:00:34
Sampling   7%|███                                       |  ETA: 0:00:32
Sampling   7%|███▏                                      |  ETA: 0:00:30
Sampling   8%|███▍                                      |  ETA: 0:00:29
Sampling   8%|███▌                                      |  ETA: 0:00:27
Sampling   9%|███▊                                      |  ETA: 0:00:26
Sampling   9%|███▉                                      |  ETA: 0:00:25
Sampling  10%|████▏                                     |  ETA: 0:00:23
Sampling  10%|████▎                                     |  ETA: 0:00:23
Sampling  11%|████▌                                     |  ETA: 0:00:22
Sampling  11%|████▊                                     |  ETA: 0:00:21
Sampling  12%|████▉                                     |  ETA: 0:00:20
Sampling  12%|█████▏                                    |  ETA: 0:00:19
Sampling  13%|█████▎                                    |  ETA: 0:00:19
Sampling  13%|█████▌                                    |  ETA: 0:00:18
Sampling  14%|█████▋                                    |  ETA: 0:00:17
Sampling  14%|█████▉                                    |  ETA: 0:00:17
Sampling  14%|██████▏                                   |  ETA: 0:00:16
Sampling  15%|██████▎                                   |  ETA: 0:00:16
Sampling  15%|██████▌                                   |  ETA: 0:00:15
Sampling  16%|██████▋                                   |  ETA: 0:00:15
Sampling  16%|██████▉                                   |  ETA: 0:00:15
Sampling  17%|███████                                   |  ETA: 0:00:14
Sampling  17%|███████▎                                  |  ETA: 0:00:14
Sampling  18%|███████▌                                  |  ETA: 0:00:13
Sampling  18%|███████▋                                  |  ETA: 0:00:13
Sampling  19%|███████▉                                  |  ETA: 0:00:13
Sampling  19%|████████                                  |  ETA: 0:00:13
Sampling  20%|████████▎                                 |  ETA: 0:00:12
Sampling  20%|████████▍                                 |  ETA: 0:00:12
Sampling  21%|████████▋                                 |  ETA: 0:00:12
Sampling  21%|████████▉                                 |  ETA: 0:00:12
Sampling  21%|█████████                                 |  ETA: 0:00:11
Sampling  22%|█████████▎                                |  ETA: 0:00:11
Sampling  22%|█████████▍                                |  ETA: 0:00:11
Sampling  23%|█████████▋                                |  ETA: 0:00:11
Sampling  23%|█████████▊                                |  ETA: 0:00:10
Sampling  24%|██████████                                |  ETA: 0:00:10
Sampling  24%|██████████▎                               |  ETA: 0:00:10
Sampling  25%|██████████▍                               |  ETA: 0:00:10
Sampling  25%|██████████▋                               |  ETA: 0:00:09
Sampling  26%|██████████▊                               |  ETA: 0:00:09
Sampling  26%|███████████                               |  ETA: 0:00:09
Sampling  27%|███████████▏                              |  ETA: 0:00:09
Sampling  27%|███████████▍                              |  ETA: 0:00:09
Sampling  28%|███████████▋                              |  ETA: 0:00:09
Sampling  28%|███████████▊                              |  ETA: 0:00:08
Sampling  28%|████████████                              |  ETA: 0:00:08
Sampling  29%|████████████▏                             |  ETA: 0:00:08
Sampling  29%|████████████▍                             |  ETA: 0:00:08
Sampling  30%|████████████▌                             |  ETA: 0:00:08
Sampling  30%|████████████▊                             |  ETA: 0:00:08
Sampling  31%|████████████▉                             |  ETA: 0:00:08
Sampling  31%|█████████████▏                            |  ETA: 0:00:07
Sampling  32%|█████████████▍                            |  ETA: 0:00:07
Sampling  32%|█████████████▌                            |  ETA: 0:00:07
Sampling  33%|█████████████▊                            |  ETA: 0:00:07
Sampling  33%|█████████████▉                            |  ETA: 0:00:07
Sampling  34%|██████████████▏                           |  ETA: 0:00:07
Sampling  34%|██████████████▎                           |  ETA: 0:00:07
Sampling  35%|██████████████▌                           |  ETA: 0:00:07
Sampling  35%|██████████████▊                           |  ETA: 0:00:07
Sampling  35%|██████████████▉                           |  ETA: 0:00:07
Sampling  36%|███████████████▏                          |  ETA: 0:00:07
Sampling  36%|███████████████▎                          |  ETA: 0:00:06
Sampling  37%|███████████████▌                          |  ETA: 0:00:06
Sampling  37%|███████████████▋                          |  ETA: 0:00:06
Sampling  38%|███████████████▉                          |  ETA: 0:00:06
Sampling  38%|████████████████▏                         |  ETA: 0:00:06
Sampling  39%|████████████████▎                         |  ETA: 0:00:06
Sampling  39%|████████████████▌                         |  ETA: 0:00:06
Sampling  40%|████████████████▋                         |  ETA: 0:00:06
Sampling  40%|████████████████▉                         |  ETA: 0:00:06
Sampling  41%|█████████████████                         |  ETA: 0:00:06
Sampling  41%|█████████████████▎                        |  ETA: 0:00:06
Sampling  42%|█████████████████▌                        |  ETA: 0:00:06
Sampling  42%|█████████████████▋                        |  ETA: 0:00:05
Sampling  42%|█████████████████▉                        |  ETA: 0:00:05
Sampling  43%|██████████████████                        |  ETA: 0:00:05
Sampling  43%|██████████████████▎                       |  ETA: 0:00:05
Sampling  44%|██████████████████▍                       |  ETA: 0:00:05
Sampling  44%|██████████████████▋                       |  ETA: 0:00:05
Sampling  45%|██████████████████▉                       |  ETA: 0:00:05
Sampling  45%|███████████████████                       |  ETA: 0:00:05
Sampling  46%|███████████████████▎                      |  ETA: 0:00:05
Sampling  46%|███████████████████▍                      |  ETA: 0:00:05
Sampling  47%|███████████████████▋                      |  ETA: 0:00:05
Sampling  47%|███████████████████▊                      |  ETA: 0:00:05
Sampling  48%|████████████████████                      |  ETA: 0:00:05
Sampling  48%|████████████████████▎                     |  ETA: 0:00:05
Sampling  49%|████████████████████▍                     |  ETA: 0:00:05
Sampling  49%|████████████████████▋                     |  ETA: 0:00:04
Sampling  49%|████████████████████▊                     |  ETA: 0:00:04
Sampling  50%|█████████████████████                     |  ETA: 0:00:04
Sampling  50%|█████████████████████▏                    |  ETA: 0:00:04
Sampling  51%|█████████████████████▍                    |  ETA: 0:00:04
Sampling  51%|█████████████████████▌                    |  ETA: 0:00:04
Sampling  52%|█████████████████████▊                    |  ETA: 0:00:04
Sampling  52%|██████████████████████                    |  ETA: 0:00:04
Sampling  53%|██████████████████████▏                   |  ETA: 0:00:04
Sampling  53%|██████████████████████▍                   |  ETA: 0:00:04
Sampling  54%|██████████████████████▌                   |  ETA: 0:00:04
Sampling  54%|██████████████████████▊                   |  ETA: 0:00:04
Sampling  55%|██████████████████████▉                   |  ETA: 0:00:04
Sampling  55%|███████████████████████▏                  |  ETA: 0:00:04
Sampling  56%|███████████████████████▍                  |  ETA: 0:00:04
Sampling  56%|███████████████████████▌                  |  ETA: 0:00:04
Sampling  56%|███████████████████████▊                  |  ETA: 0:00:04
Sampling  57%|███████████████████████▉                  |  ETA: 0:00:04
Sampling  57%|████████████████████████▏                 |  ETA: 0:00:03
Sampling  58%|████████████████████████▎                 |  ETA: 0:00:03
Sampling  58%|████████████████████████▌                 |  ETA: 0:00:03
Sampling  59%|████████████████████████▊                 |  ETA: 0:00:03
Sampling  59%|████████████████████████▉                 |  ETA: 0:00:03
Sampling  60%|█████████████████████████▏                |  ETA: 0:00:03
Sampling  60%|█████████████████████████▎                |  ETA: 0:00:03
Sampling  61%|█████████████████████████▌                |  ETA: 0:00:03
Sampling  61%|█████████████████████████▋                |  ETA: 0:00:03
Sampling  62%|█████████████████████████▉                |  ETA: 0:00:03
Sampling  62%|██████████████████████████▏               |  ETA: 0:00:03
Sampling  63%|██████████████████████████▎               |  ETA: 0:00:03
Sampling  63%|██████████████████████████▌               |  ETA: 0:00:03
Sampling  63%|██████████████████████████▋               |  ETA: 0:00:03
Sampling  64%|██████████████████████████▉               |  ETA: 0:00:03
Sampling  64%|███████████████████████████               |  ETA: 0:00:03
Sampling  65%|███████████████████████████▎              |  ETA: 0:00:03
Sampling  65%|███████████████████████████▌              |  ETA: 0:00:03
Sampling  66%|███████████████████████████▋              |  ETA: 0:00:03
Sampling  66%|███████████████████████████▉              |  ETA: 0:00:03
Sampling  67%|████████████████████████████              |  ETA: 0:00:03
Sampling  67%|████████████████████████████▎             |  ETA: 0:00:03
Sampling  68%|████████████████████████████▍             |  ETA: 0:00:03
Sampling  68%|████████████████████████████▋             |  ETA: 0:00:02
Sampling  69%|████████████████████████████▊             |  ETA: 0:00:02
Sampling  69%|█████████████████████████████             |  ETA: 0:00:02
Sampling  70%|█████████████████████████████▎            |  ETA: 0:00:02
Sampling  70%|█████████████████████████████▍            |  ETA: 0:00:02
Sampling  70%|█████████████████████████████▋            |  ETA: 0:00:02
Sampling  71%|█████████████████████████████▊            |  ETA: 0:00:02
Sampling  71%|██████████████████████████████            |  ETA: 0:00:02
Sampling  72%|██████████████████████████████▏           |  ETA: 0:00:02
Sampling  72%|██████████████████████████████▍           |  ETA: 0:00:02
Sampling  73%|██████████████████████████████▋           |  ETA: 0:00:02
Sampling  73%|██████████████████████████████▊           |  ETA: 0:00:02
Sampling  74%|███████████████████████████████           |  ETA: 0:00:02
Sampling  74%|███████████████████████████████▏          |  ETA: 0:00:02
Sampling  75%|███████████████████████████████▍          |  ETA: 0:00:02
Sampling  75%|███████████████████████████████▌          |  ETA: 0:00:02
Sampling  76%|███████████████████████████████▊          |  ETA: 0:00:02
Sampling  76%|████████████████████████████████          |  ETA: 0:00:02
Sampling  77%|████████████████████████████████▏         |  ETA: 0:00:02
Sampling  77%|████████████████████████████████▍         |  ETA: 0:00:02
Sampling  77%|████████████████████████████████▌         |  ETA: 0:00:02
Sampling  78%|████████████████████████████████▊         |  ETA: 0:00:02
Sampling  78%|████████████████████████████████▉         |  ETA: 0:00:02
Sampling  79%|█████████████████████████████████▏        |  ETA: 0:00:02
Sampling  79%|█████████████████████████████████▍        |  ETA: 0:00:02
Sampling  80%|█████████████████████████████████▌        |  ETA: 0:00:01
Sampling  80%|█████████████████████████████████▊        |  ETA: 0:00:01
Sampling  81%|█████████████████████████████████▉        |  ETA: 0:00:01
Sampling  81%|██████████████████████████████████▏       |  ETA: 0:00:01
Sampling  82%|██████████████████████████████████▎       |  ETA: 0:00:01
Sampling  82%|██████████████████████████████████▌       |  ETA: 0:00:01
Sampling  83%|██████████████████████████████████▊       |  ETA: 0:00:01
Sampling  83%|██████████████████████████████████▉       |  ETA: 0:00:01
Sampling  84%|███████████████████████████████████▏      |  ETA: 0:00:01
Sampling  84%|███████████████████████████████████▎      |  ETA: 0:00:01
Sampling  84%|███████████████████████████████████▌      |  ETA: 0:00:01
Sampling  85%|███████████████████████████████████▋      |  ETA: 0:00:01
Sampling  85%|███████████████████████████████████▉      |  ETA: 0:00:01
Sampling  86%|████████████████████████████████████▏     |  ETA: 0:00:01
Sampling  86%|████████████████████████████████████▎     |  ETA: 0:00:01
Sampling  87%|████████████████████████████████████▌     |  ETA: 0:00:01
Sampling  87%|████████████████████████████████████▋     |  ETA: 0:00:01
Sampling  88%|████████████████████████████████████▉     |  ETA: 0:00:01
Sampling  88%|█████████████████████████████████████     |  ETA: 0:00:01
Sampling  89%|█████████████████████████████████████▎    |  ETA: 0:00:01
Sampling  89%|█████████████████████████████████████▍    |  ETA: 0:00:01
Sampling  90%|█████████████████████████████████████▋    |  ETA: 0:00:01
Sampling  90%|█████████████████████████████████████▉    |  ETA: 0:00:01
Sampling  91%|██████████████████████████████████████    |  ETA: 0:00:01
Sampling  91%|██████████████████████████████████████▎   |  ETA: 0:00:01
Sampling  91%|██████████████████████████████████████▍   |  ETA: 0:00:01
Sampling  92%|██████████████████████████████████████▋   |  ETA: 0:00:01
Sampling  92%|██████████████████████████████████████▊   |  ETA: 0:00:01
Sampling  93%|███████████████████████████████████████   |  ETA: 0:00:00
Sampling  93%|███████████████████████████████████████▎  |  ETA: 0:00:00
Sampling  94%|███████████████████████████████████████▍  |  ETA: 0:00:00
Sampling  94%|███████████████████████████████████████▋  |  ETA: 0:00:00
Sampling  95%|███████████████████████████████████████▊  |  ETA: 0:00:00
Sampling  95%|████████████████████████████████████████  |  ETA: 0:00:00
Sampling  96%|████████████████████████████████████████▏ |  ETA: 0:00:00
Sampling  96%|████████████████████████████████████████▍ |  ETA: 0:00:00
Sampling  97%|████████████████████████████████████████▋ |  ETA: 0:00:00
Sampling  97%|████████████████████████████████████████▊ |  ETA: 0:00:00
Sampling  98%|█████████████████████████████████████████ |  ETA: 0:00:00
Sampling  98%|█████████████████████████████████████████▏|  ETA: 0:00:00
Sampling  98%|█████████████████████████████████████████▍|  ETA: 0:00:00
Sampling  99%|█████████████████████████████████████████▌|  ETA: 0:00:00
Sampling  99%|█████████████████████████████████████████▊|  ETA: 0:00:00
Sampling 100%|██████████████████████████████████████████|  ETA: 0:00:00
Sampling 100%|██████████████████████████████████████████| Time: 0:00:06

  parameters      mean       std      mcse   ess_bulk   ess_tail      rhat   e ⋯
      Symbol   Float64   Float64   Float64    Float64    Float64   Float64     ⋯

           a    0.0045    0.0008    0.0001   230.8300   355.1058    1.0061     ⋯
           b    0.0326    0.0030    0.0002   236.6880   345.3864    1.0059     ⋯
           k    2.0719    0.9777    0.0488   294.4018   261.2196    1.0044     ⋯
                                                                1 column omitted

plot(chain2)

Plotting samples from the posterior

We can see that the sampling of possible posterior parameters fits the data well:

let
    data_weight = data.exposures ./ sum(data.exposures)
    data_weight = .√(data_weight ./ maximum(data_weight) .* 20)

    p = scatter(
        data.att_age,
        data.fraction,
        markersize=data_weight,
        alpha=0.5,
        label="Experience data point (size indicates relative exposure quantity)",
        xlabel="age",
        ylim=(0.0, 0.25),
        ylabel="mortality rate",
        title="Parametric Bayseian Mortality"
    )


    # show n samples from the posterior plotted on the graph
    n = 300
    ages = sort!(unique(data.att_age))

    for i in 1:n
        s = sample(chain2, 1)
        a = only(s[:a])
        b = only(s[:b])
        k = only(s[:k])
        c = 0
        m = MortalityTables.MakehamBeard(; a, b, c, k)
        plot!(ages, age -> MortalityTables.hazard(m, age), alpha=0.1, label="")
    end
    p
end

3. Parametric model

This model extends the prior to create a multi-level model. Each risk class (risklevel) gets its own $a$ paramater in the MakhamBeard model. The prior for $a_i$ is determined by the hyperparameter $\overline{a}$.

@model function mortality3(data, deaths)
    risk_levels = length(levels(data.risklevel))
    b ~ Exponential(0.1)
    ā ~ Exponential(0.1)
    a ~ filldist(Exponential(ā), risk_levels)
    c = 0
    k ~ truncated(Exponential(1), 1, Inf)

    # use the variables to create a parametric mortality model

    # loop through the rows of the dataframe to let Turing observe the data 
    # and how consistent the parameters are with the data
    for i = 1:nrow(data)
        risk = data.risklevel[i]

        m = MortalityTables.MakehamBeard(; a=a[risk], b, c, k)
        age = data.att_age[i]
        q = MortalityTables.hazard(m, age)
        deaths[i] ~ Binomial(data.exposures[i], q)
    end
end

mortality3 (generic function with 2 methods)

Instantiate model with the data, sample, and summarize:

m3 = mortality3(data2, data2.deaths)
chain3 = sample(m3, NUTS(), 1000)
summarize(chain3)

Sampling   0%|                                          |  ETA: N/A
┌ Info: Found initial step size
└   ϵ = 0.0125
Sampling   0%|▎                                         |  ETA: 0:06:41
Sampling   1%|▍                                         |  ETA: 0:03:53
Sampling   1%|▋                                         |  ETA: 0:02:59
Sampling   2%|▊                                         |  ETA: 0:02:34
Sampling   2%|█                                         |  ETA: 0:02:07
Sampling   3%|█▏                                        |  ETA: 0:01:51
Sampling   3%|█▍                                        |  ETA: 0:01:42
Sampling   4%|█▋                                        |  ETA: 0:01:37
Sampling   4%|█▊                                        |  ETA: 0:01:33
Sampling   5%|██                                        |  ETA: 0:01:29
Sampling   5%|██▏                                       |  ETA: 0:01:28
Sampling   6%|██▍                                       |  ETA: 0:01:28
Sampling   6%|██▌                                       |  ETA: 0:01:30
Sampling   7%|██▊                                       |  ETA: 0:01:28
Sampling   7%|███                                       |  ETA: 0:01:27
Sampling   7%|███▏                                      |  ETA: 0:01:23
Sampling   8%|███▍                                      |  ETA: 0:01:19
Sampling   8%|███▌                                      |  ETA: 0:01:15
Sampling   9%|███▊                                      |  ETA: 0:01:12
Sampling   9%|███▉                                      |  ETA: 0:01:10
Sampling  10%|████▏                                     |  ETA: 0:01:08
Sampling  10%|████▎                                     |  ETA: 0:01:05
Sampling  11%|████▌                                     |  ETA: 0:01:02
Sampling  11%|████▊                                     |  ETA: 0:01:01
Sampling  12%|████▉                                     |  ETA: 0:00:58
Sampling  12%|█████▏                                    |  ETA: 0:00:57
Sampling  13%|█████▎                                    |  ETA: 0:00:55
Sampling  13%|█████▌                                    |  ETA: 0:00:54
Sampling  14%|█████▋                                    |  ETA: 0:00:52
Sampling  14%|█████▉                                    |  ETA: 0:00:51
Sampling  14%|██████▏                                   |  ETA: 0:00:49
Sampling  15%|██████▎                                   |  ETA: 0:00:48
Sampling  15%|██████▌                                   |  ETA: 0:00:46
Sampling  16%|██████▋                                   |  ETA: 0:00:45
Sampling  16%|██████▉                                   |  ETA: 0:00:44
Sampling  17%|███████                                   |  ETA: 0:00:43
Sampling  17%|███████▎                                  |  ETA: 0:00:42
Sampling  18%|███████▌                                  |  ETA: 0:00:41
Sampling  18%|███████▋                                  |  ETA: 0:00:40
Sampling  19%|███████▉                                  |  ETA: 0:00:39
Sampling  19%|████████                                  |  ETA: 0:00:39
Sampling  20%|████████▎                                 |  ETA: 0:00:38
Sampling  20%|████████▍                                 |  ETA: 0:00:37
Sampling  21%|████████▋                                 |  ETA: 0:00:36
Sampling  21%|████████▉                                 |  ETA: 0:00:35
Sampling  21%|█████████                                 |  ETA: 0:00:34
Sampling  22%|█████████▎                                |  ETA: 0:00:34
Sampling  22%|█████████▍                                |  ETA: 0:00:33
Sampling  23%|█████████▋                                |  ETA: 0:00:32
Sampling  23%|█████████▊                                |  ETA: 0:00:32
Sampling  24%|██████████                                |  ETA: 0:00:31
Sampling  24%|██████████▎                               |  ETA: 0:00:31
Sampling  25%|██████████▍                               |  ETA: 0:00:30
Sampling  25%|██████████▋                               |  ETA: 0:00:30
Sampling  26%|██████████▊                               |  ETA: 0:00:29
Sampling  26%|███████████                               |  ETA: 0:00:29
Sampling  27%|███████████▏                              |  ETA: 0:00:28
Sampling  27%|███████████▍                              |  ETA: 0:00:28
Sampling  28%|███████████▋                              |  ETA: 0:00:27
Sampling  28%|███████████▊                              |  ETA: 0:00:27
Sampling  28%|████████████                              |  ETA: 0:00:26
Sampling  29%|████████████▏                             |  ETA: 0:00:26
Sampling  29%|████████████▍                             |  ETA: 0:00:26
Sampling  30%|████████████▌                             |  ETA: 0:00:25
Sampling  30%|████████████▊                             |  ETA: 0:00:25
Sampling  31%|████████████▉                             |  ETA: 0:00:24
Sampling  31%|█████████████▏                            |  ETA: 0:00:24
Sampling  32%|█████████████▍                            |  ETA: 0:00:24
Sampling  32%|█████████████▌                            |  ETA: 0:00:23
Sampling  33%|█████████████▊                            |  ETA: 0:00:23
Sampling  33%|█████████████▉                            |  ETA: 0:00:23
Sampling  34%|██████████████▏                           |  ETA: 0:00:22
Sampling  34%|██████████████▎                           |  ETA: 0:00:22
Sampling  35%|██████████████▌                           |  ETA: 0:00:22
Sampling  35%|██████████████▊                           |  ETA: 0:00:22
Sampling  35%|██████████████▉                           |  ETA: 0:00:21
Sampling  36%|███████████████▏                          |  ETA: 0:00:21
Sampling  36%|███████████████▎                          |  ETA: 0:00:21
Sampling  37%|███████████████▌                          |  ETA: 0:00:20
Sampling  37%|███████████████▋                          |  ETA: 0:00:20
Sampling  38%|███████████████▉                          |  ETA: 0:00:20
Sampling  38%|████████████████▏                         |  ETA: 0:00:20
Sampling  39%|████████████████▎                         |  ETA: 0:00:19
Sampling  39%|████████████████▌                         |  ETA: 0:00:19
Sampling  40%|████████████████▋                         |  ETA: 0:00:19
Sampling  40%|████████████████▉                         |  ETA: 0:00:19
Sampling  41%|█████████████████                         |  ETA: 0:00:18
Sampling  41%|█████████████████▎                        |  ETA: 0:00:18
Sampling  42%|█████████████████▌                        |  ETA: 0:00:18
Sampling  42%|█████████████████▋                        |  ETA: 0:00:18
Sampling  42%|█████████████████▉                        |  ETA: 0:00:17
Sampling  43%|██████████████████                        |  ETA: 0:00:17
Sampling  43%|██████████████████▎                       |  ETA: 0:00:17
Sampling  44%|██████████████████▍                       |  ETA: 0:00:17
Sampling  44%|██████████████████▋                       |  ETA: 0:00:17
Sampling  45%|██████████████████▉                       |  ETA: 0:00:16
Sampling  45%|███████████████████                       |  ETA: 0:00:16
Sampling  46%|███████████████████▎                      |  ETA: 0:00:16
Sampling  46%|███████████████████▍                      |  ETA: 0:00:16
Sampling  47%|███████████████████▋                      |  ETA: 0:00:16
Sampling  47%|███████████████████▊                      |  ETA: 0:00:15
Sampling  48%|████████████████████                      |  ETA: 0:00:15
Sampling  48%|████████████████████▎                     |  ETA: 0:00:15
Sampling  49%|████████████████████▍                     |  ETA: 0:00:15
Sampling  49%|████████████████████▋                     |  ETA: 0:00:15
Sampling  49%|████████████████████▊                     |  ETA: 0:00:15
Sampling  50%|█████████████████████                     |  ETA: 0:00:14
Sampling  50%|█████████████████████▏                    |  ETA: 0:00:14
Sampling  51%|█████████████████████▍                    |  ETA: 0:00:14
Sampling  51%|█████████████████████▌                    |  ETA: 0:00:14
Sampling  52%|█████████████████████▊                    |  ETA: 0:00:14
Sampling  52%|██████████████████████                    |  ETA: 0:00:13
Sampling  53%|██████████████████████▏                   |  ETA: 0:00:13
Sampling  53%|██████████████████████▍                   |  ETA: 0:00:13
Sampling  54%|██████████████████████▌                   |  ETA: 0:00:13
Sampling  54%|██████████████████████▊                   |  ETA: 0:00:13
Sampling  55%|██████████████████████▉                   |  ETA: 0:00:13
Sampling  55%|███████████████████████▏                  |  ETA: 0:00:12
Sampling  56%|███████████████████████▍                  |  ETA: 0:00:12
Sampling  56%|███████████████████████▌                  |  ETA: 0:00:12
Sampling  56%|███████████████████████▊                  |  ETA: 0:00:12
Sampling  57%|███████████████████████▉                  |  ETA: 0:00:12
Sampling  57%|████████████████████████▏                 |  ETA: 0:00:12
Sampling  58%|████████████████████████▎                 |  ETA: 0:00:11
Sampling  58%|████████████████████████▌                 |  ETA: 0:00:11
Sampling  59%|████████████████████████▊                 |  ETA: 0:00:11
Sampling  59%|████████████████████████▉                 |  ETA: 0:00:11
Sampling  60%|█████████████████████████▏                |  ETA: 0:00:11
Sampling  60%|█████████████████████████▎                |  ETA: 0:00:11
Sampling  61%|█████████████████████████▌                |  ETA: 0:00:10
Sampling  61%|█████████████████████████▋                |  ETA: 0:00:10
Sampling  62%|█████████████████████████▉                |  ETA: 0:00:10
Sampling  62%|██████████████████████████▏               |  ETA: 0:00:10
Sampling  63%|██████████████████████████▎               |  ETA: 0:00:10
Sampling  63%|██████████████████████████▌               |  ETA: 0:00:10
Sampling  63%|██████████████████████████▋               |  ETA: 0:00:09
Sampling  64%|██████████████████████████▉               |  ETA: 0:00:09
Sampling  64%|███████████████████████████               |  ETA: 0:00:09
Sampling  65%|███████████████████████████▎              |  ETA: 0:00:09
Sampling  65%|███████████████████████████▌              |  ETA: 0:00:09
Sampling  66%|███████████████████████████▋              |  ETA: 0:00:09
Sampling  66%|███████████████████████████▉              |  ETA: 0:00:09
Sampling  67%|████████████████████████████              |  ETA: 0:00:09
Sampling  67%|████████████████████████████▎             |  ETA: 0:00:08
Sampling  68%|████████████████████████████▍             |  ETA: 0:00:08
Sampling  68%|████████████████████████████▋             |  ETA: 0:00:08
Sampling  69%|████████████████████████████▊             |  ETA: 0:00:08
Sampling  69%|█████████████████████████████             |  ETA: 0:00:08
Sampling  70%|█████████████████████████████▎            |  ETA: 0:00:08
Sampling  70%|█████████████████████████████▍            |  ETA: 0:00:08
Sampling  70%|█████████████████████████████▋            |  ETA: 0:00:07
Sampling  71%|█████████████████████████████▊            |  ETA: 0:00:07
Sampling  71%|██████████████████████████████            |  ETA: 0:00:07
Sampling  72%|██████████████████████████████▏           |  ETA: 0:00:07
Sampling  72%|██████████████████████████████▍           |  ETA: 0:00:07
Sampling  73%|██████████████████████████████▋           |  ETA: 0:00:07
Sampling  73%|██████████████████████████████▊           |  ETA: 0:00:07
Sampling  74%|███████████████████████████████           |  ETA: 0:00:06
Sampling  74%|███████████████████████████████▏          |  ETA: 0:00:06
Sampling  75%|███████████████████████████████▍          |  ETA: 0:00:06
Sampling  75%|███████████████████████████████▌          |  ETA: 0:00:06
Sampling  76%|███████████████████████████████▊          |  ETA: 0:00:06
Sampling  76%|████████████████████████████████          |  ETA: 0:00:06
Sampling  77%|████████████████████████████████▏         |  ETA: 0:00:06
Sampling  77%|████████████████████████████████▍         |  ETA: 0:00:06
Sampling  77%|████████████████████████████████▌         |  ETA: 0:00:05
Sampling  78%|████████████████████████████████▊         |  ETA: 0:00:05
Sampling  78%|████████████████████████████████▉         |  ETA: 0:00:05
Sampling  79%|█████████████████████████████████▏        |  ETA: 0:00:05
Sampling  79%|█████████████████████████████████▍        |  ETA: 0:00:05
Sampling  80%|█████████████████████████████████▌        |  ETA: 0:00:05
Sampling  80%|█████████████████████████████████▊        |  ETA: 0:00:05
Sampling  81%|█████████████████████████████████▉        |  ETA: 0:00:05
Sampling  81%|██████████████████████████████████▏       |  ETA: 0:00:05
Sampling  82%|██████████████████████████████████▎       |  ETA: 0:00:04
Sampling  82%|██████████████████████████████████▌       |  ETA: 0:00:04
Sampling  83%|██████████████████████████████████▊       |  ETA: 0:00:04
Sampling  83%|██████████████████████████████████▉       |  ETA: 0:00:04
Sampling  84%|███████████████████████████████████▏      |  ETA: 0:00:04
Sampling  84%|███████████████████████████████████▎      |  ETA: 0:00:04
Sampling  84%|███████████████████████████████████▌      |  ETA: 0:00:04
Sampling  85%|███████████████████████████████████▋      |  ETA: 0:00:04
Sampling  85%|███████████████████████████████████▉      |  ETA: 0:00:03
Sampling  86%|████████████████████████████████████▏     |  ETA: 0:00:03
Sampling  86%|████████████████████████████████████▎     |  ETA: 0:00:03
Sampling  87%|████████████████████████████████████▌     |  ETA: 0:00:03
Sampling  87%|████████████████████████████████████▋     |  ETA: 0:00:03
Sampling  88%|████████████████████████████████████▉     |  ETA: 0:00:03
Sampling  88%|█████████████████████████████████████     |  ETA: 0:00:03
Sampling  89%|█████████████████████████████████████▎    |  ETA: 0:00:03
Sampling  89%|█████████████████████████████████████▍    |  ETA: 0:00:03
Sampling  90%|█████████████████████████████████████▋    |  ETA: 0:00:02
Sampling  90%|█████████████████████████████████████▉    |  ETA: 0:00:02
Sampling  91%|██████████████████████████████████████    |  ETA: 0:00:02
Sampling  91%|██████████████████████████████████████▎   |  ETA: 0:00:02
Sampling  91%|██████████████████████████████████████▍   |  ETA: 0:00:02
Sampling  92%|██████████████████████████████████████▋   |  ETA: 0:00:02
Sampling  92%|██████████████████████████████████████▊   |  ETA: 0:00:02
Sampling  93%|███████████████████████████████████████   |  ETA: 0:00:02
Sampling  93%|███████████████████████████████████████▎  |  ETA: 0:00:02
Sampling  94%|███████████████████████████████████████▍  |  ETA: 0:00:01
Sampling  94%|███████████████████████████████████████▋  |  ETA: 0:00:01
Sampling  95%|███████████████████████████████████████▊  |  ETA: 0:00:01
Sampling  95%|████████████████████████████████████████  |  ETA: 0:00:01
Sampling  96%|████████████████████████████████████████▏ |  ETA: 0:00:01
Sampling  96%|████████████████████████████████████████▍ |  ETA: 0:00:01
Sampling  97%|████████████████████████████████████████▋ |  ETA: 0:00:01
Sampling  97%|████████████████████████████████████████▊ |  ETA: 0:00:01
Sampling  98%|█████████████████████████████████████████ |  ETA: 0:00:01
Sampling  98%|█████████████████████████████████████████▏|  ETA: 0:00:00
Sampling  98%|█████████████████████████████████████████▍|  ETA: 0:00:00
Sampling  99%|█████████████████████████████████████████▌|  ETA: 0:00:00
Sampling  99%|█████████████████████████████████████████▊|  ETA: 0:00:00
Sampling 100%|██████████████████████████████████████████|  ETA: 0:00:00
Sampling 100%|██████████████████████████████████████████| Time: 0:00:22

  parameters      mean       std      mcse   ess_bulk   ess_tail      rhat   e ⋯
      Symbol   Float64   Float64   Float64    Float64    Float64   Float64     ⋯

           b    0.0378    0.0034    0.0003   148.7659   160.4862    0.9999     ⋯
           ā    0.0087    0.0088    0.0004   446.5366   433.2182    1.0016     ⋯
        a[1]    0.0023    0.0005    0.0000   158.2328   136.2125    1.0000     ⋯
        a[2]    0.0031    0.0006    0.0000   156.3086   168.6002    1.0009     ⋯
        a[3]    0.0048    0.0009    0.0001   163.6040   187.3317    1.0025     ⋯
           k    2.0028    0.9763    0.0765   193.9719   176.6343    1.0001     ⋯
                                                                1 column omitted

let data = data2

    data_weight = data.exposures ./ sum(data.exposures)
    data_weight = .√(data_weight ./ maximum(data_weight) .* 20)
    color_i = data.risklevel

    p = scatter(
        data.att_age,
        data.fraction,
        markersize=data_weight,
        alpha=0.5,
        color=color_i,
        label="Experience data point (size indicates relative exposure quantity)",
        xlabel="age",
        ylim=(0.0, 0.25),
        ylabel="mortality rate",
        title="Parametric Bayseian Mortality"
    )


    # show n samples from the posterior plotted on the graph
    n = 100

    ages = sort!(unique(data.att_age))
    for r in 1:3
        for i in 1:n
            s = sample(chain3, 1)
            a = only(s[Symbol("a[$r]")])
            b = only(s[:b])
            k = only(s[:k])
            c = 0
            m = MortalityTables.MakehamBeard(; a, b, c, k)
            if i == 1
                plot!(ages, age -> MortalityTables.hazard(m, age), label="risk level $r", alpha=0.2, color=r)
            else
                plot!(ages, age -> MortalityTables.hazard(m, age), label="", alpha=0.2, color=r)
            end
        end
    end
    p
end

Handling non-unit exposures

The key is to use the Poisson distribution:

@model function mortality4(data, deaths)
    risk_levels = length(levels(data.risklevel))
    b ~ Exponential(0.1)
    ā ~ Exponential(0.1)
    a ~ filldist(Exponential(ā), risk_levels)
    c ~ Beta(4, 18)
    k ~ truncated(Exponential(1), 1, Inf)

    # use the variables to create a parametric mortality model

    # loop through the rows of the dataframe to let Turing observe the data 
    # and how consistent the parameters are with the data
    for i = 1:nrow(data)
        risk = data.risklevel[i]

        m = MortalityTables.MakehamBeard(; a=a[risk], b, c, k)
        age = data.att_age[i]
        q = MortalityTables.hazard(m, age)
        deaths[i] ~ Poisson(data.exposures[i] * q)
    end
end

mortality4 (generic function with 2 methods)

Instantiate model with the data, sample, and summarize:

m4 = mortality4(data2, data2.deaths)
chain4 = sample(m4, NUTS(), 1000)
summarize(chain4)

Sampling   0%|                                          |  ETA: N/A
┌ Info: Found initial step size
└   ϵ = 0.0125
Sampling   0%|▎                                         |  ETA: 0:08:35
Sampling   1%|▍                                         |  ETA: 0:04:32
Sampling   1%|▋                                         |  ETA: 0:03:31
Sampling   2%|▊                                         |  ETA: 0:02:41
Sampling   2%|█                                         |  ETA: 0:02:14
Sampling   3%|█▏                                        |  ETA: 0:01:54
Sampling   3%|█▍                                        |  ETA: 0:01:41
Sampling   4%|█▋                                        |  ETA: 0:01:30
Sampling   4%|█▊                                        |  ETA: 0:01:22
Sampling   5%|██                                        |  ETA: 0:01:20
Sampling   5%|██▏                                       |  ETA: 0:01:24
Sampling   6%|██▍                                       |  ETA: 0:01:24
Sampling   6%|██▌                                       |  ETA: 0:01:30
Sampling   7%|██▊                                       |  ETA: 0:01:26
Sampling   7%|███                                       |  ETA: 0:01:23
Sampling   7%|███▏                                      |  ETA: 0:01:21
Sampling   8%|███▍                                      |  ETA: 0:01:18
Sampling   8%|███▌                                      |  ETA: 0:01:15
Sampling   9%|███▊                                      |  ETA: 0:01:12
Sampling   9%|███▉                                      |  ETA: 0:01:10
Sampling  10%|████▏                                     |  ETA: 0:01:08
Sampling  10%|████▎                                     |  ETA: 0:01:06
Sampling  11%|████▌                                     |  ETA: 0:01:04
Sampling  11%|████▊                                     |  ETA: 0:01:02
Sampling  12%|████▉                                     |  ETA: 0:01:00
Sampling  12%|█████▏                                    |  ETA: 0:00:59
Sampling  13%|█████▎                                    |  ETA: 0:00:57
Sampling  13%|█████▌                                    |  ETA: 0:00:56
Sampling  14%|█████▋                                    |  ETA: 0:00:54
Sampling  14%|█████▉                                    |  ETA: 0:00:53
Sampling  14%|██████▏                                   |  ETA: 0:00:51
Sampling  15%|██████▎                                   |  ETA: 0:00:50
Sampling  15%|██████▌                                   |  ETA: 0:00:49
Sampling  16%|██████▋                                   |  ETA: 0:00:48
Sampling  16%|██████▉                                   |  ETA: 0:00:47
Sampling  17%|███████                                   |  ETA: 0:00:46
Sampling  17%|███████▎                                  |  ETA: 0:00:45
Sampling  18%|███████▌                                  |  ETA: 0:00:44
Sampling  18%|███████▋                                  |  ETA: 0:00:43
Sampling  19%|███████▉                                  |  ETA: 0:00:42
Sampling  19%|████████                                  |  ETA: 0:00:42
Sampling  20%|████████▎                                 |  ETA: 0:00:41
Sampling  20%|████████▍                                 |  ETA: 0:00:40
Sampling  21%|████████▋                                 |  ETA: 0:00:40
Sampling  21%|████████▉                                 |  ETA: 0:00:39
Sampling  21%|█████████                                 |  ETA: 0:00:38
Sampling  22%|█████████▎                                |  ETA: 0:00:38
Sampling  22%|█████████▍                                |  ETA: 0:00:37
Sampling  23%|█████████▋                                |  ETA: 0:00:36
Sampling  23%|█████████▊                                |  ETA: 0:00:35
Sampling  24%|██████████                                |  ETA: 0:00:35
Sampling  24%|██████████▎                               |  ETA: 0:00:34
Sampling  25%|██████████▍                               |  ETA: 0:00:34
Sampling  25%|██████████▋                               |  ETA: 0:00:33
Sampling  26%|██████████▊                               |  ETA: 0:00:33
Sampling  26%|███████████                               |  ETA: 0:00:32
Sampling  27%|███████████▏                              |  ETA: 0:00:32
Sampling  27%|███████████▍                              |  ETA: 0:00:31
Sampling  28%|███████████▋                              |  ETA: 0:00:31
Sampling  28%|███████████▊                              |  ETA: 0:00:30
Sampling  28%|████████████                              |  ETA: 0:00:30
Sampling  29%|████████████▏                             |  ETA: 0:00:29
Sampling  29%|████████████▍                             |  ETA: 0:00:29
Sampling  30%|████████████▌                             |  ETA: 0:00:29
Sampling  30%|████████████▊                             |  ETA: 0:00:28
Sampling  31%|████████████▉                             |  ETA: 0:00:28
Sampling  31%|█████████████▏                            |  ETA: 0:00:28
Sampling  32%|█████████████▍                            |  ETA: 0:00:27
Sampling  32%|█████████████▌                            |  ETA: 0:00:27
Sampling  33%|█████████████▊                            |  ETA: 0:00:27
Sampling  33%|█████████████▉                            |  ETA: 0:00:26
Sampling  34%|██████████████▏                           |  ETA: 0:00:26
Sampling  34%|██████████████▎                           |  ETA: 0:00:26
Sampling  35%|██████████████▌                           |  ETA: 0:00:25
Sampling  35%|██████████████▊                           |  ETA: 0:00:25
Sampling  35%|██████████████▉                           |  ETA: 0:00:25
Sampling  36%|███████████████▏                          |  ETA: 0:00:25
Sampling  36%|███████████████▎                          |  ETA: 0:00:25
Sampling  37%|███████████████▌                          |  ETA: 0:00:24
Sampling  37%|███████████████▋                          |  ETA: 0:00:24
Sampling  38%|███████████████▉                          |  ETA: 0:00:24
Sampling  38%|████████████████▏                         |  ETA: 0:00:24
Sampling  39%|████████████████▎                         |  ETA: 0:00:23
Sampling  39%|████████████████▌                         |  ETA: 0:00:23
Sampling  40%|████████████████▋                         |  ETA: 0:00:23
Sampling  40%|████████████████▉                         |  ETA: 0:00:23
Sampling  41%|█████████████████                         |  ETA: 0:00:22
Sampling  41%|█████████████████▎                        |  ETA: 0:00:22
Sampling  42%|█████████████████▌                        |  ETA: 0:00:22
Sampling  42%|█████████████████▋                        |  ETA: 0:00:22
Sampling  42%|█████████████████▉                        |  ETA: 0:00:22
Sampling  43%|██████████████████                        |  ETA: 0:00:21
Sampling  43%|██████████████████▎                       |  ETA: 0:00:21
Sampling  44%|██████████████████▍                       |  ETA: 0:00:21
Sampling  44%|██████████████████▋                       |  ETA: 0:00:21
Sampling  45%|██████████████████▉                       |  ETA: 0:00:21
Sampling  45%|███████████████████                       |  ETA: 0:00:20
Sampling  46%|███████████████████▎                      |  ETA: 0:00:20
Sampling  46%|███████████████████▍                      |  ETA: 0:00:20
Sampling  47%|███████████████████▋                      |  ETA: 0:00:20
Sampling  47%|███████████████████▊                      |  ETA: 0:00:19
Sampling  48%|████████████████████                      |  ETA: 0:00:19
Sampling  48%|████████████████████▎                     |  ETA: 0:00:19
Sampling  49%|████████████████████▍                     |  ETA: 0:00:19
Sampling  49%|████████████████████▋                     |  ETA: 0:00:19
Sampling  49%|████████████████████▊                     |  ETA: 0:00:19
Sampling  50%|█████████████████████                     |  ETA: 0:00:18
Sampling  50%|█████████████████████▏                    |  ETA: 0:00:18
Sampling  51%|█████████████████████▍                    |  ETA: 0:00:18
Sampling  51%|█████████████████████▌                    |  ETA: 0:00:18
Sampling  52%|█████████████████████▊                    |  ETA: 0:00:17
Sampling  52%|██████████████████████                    |  ETA: 0:00:17
Sampling  53%|██████████████████████▏                   |  ETA: 0:00:17
Sampling  53%|██████████████████████▍                   |  ETA: 0:00:17
Sampling  54%|██████████████████████▌                   |  ETA: 0:00:17
Sampling  54%|██████████████████████▊                   |  ETA: 0:00:16
Sampling  55%|██████████████████████▉                   |  ETA: 0:00:16
Sampling  55%|███████████████████████▏                  |  ETA: 0:00:16
Sampling  56%|███████████████████████▍                  |  ETA: 0:00:16
Sampling  56%|███████████████████████▌                  |  ETA: 0:00:16
Sampling  56%|███████████████████████▊                  |  ETA: 0:00:15
Sampling  57%|███████████████████████▉                  |  ETA: 0:00:15
Sampling  57%|████████████████████████▏                 |  ETA: 0:00:15
Sampling  58%|████████████████████████▎                 |  ETA: 0:00:15
Sampling  58%|████████████████████████▌                 |  ETA: 0:00:15
Sampling  59%|████████████████████████▊                 |  ETA: 0:00:14
Sampling  59%|████████████████████████▉                 |  ETA: 0:00:14
Sampling  60%|█████████████████████████▏                |  ETA: 0:00:14
Sampling  60%|█████████████████████████▎                |  ETA: 0:00:14
Sampling  61%|█████████████████████████▌                |  ETA: 0:00:14
Sampling  61%|█████████████████████████▋                |  ETA: 0:00:14
Sampling  62%|█████████████████████████▉                |  ETA: 0:00:13
Sampling  62%|██████████████████████████▏               |  ETA: 0:00:13
Sampling  63%|██████████████████████████▎               |  ETA: 0:00:13
Sampling  63%|██████████████████████████▌               |  ETA: 0:00:13
Sampling  63%|██████████████████████████▋               |  ETA: 0:00:13
Sampling  64%|██████████████████████████▉               |  ETA: 0:00:12
Sampling  64%|███████████████████████████               |  ETA: 0:00:12
Sampling  65%|███████████████████████████▎              |  ETA: 0:00:12
Sampling  65%|███████████████████████████▌              |  ETA: 0:00:12
Sampling  66%|███████████████████████████▋              |  ETA: 0:00:12
Sampling  66%|███████████████████████████▉              |  ETA: 0:00:12
Sampling  67%|████████████████████████████              |  ETA: 0:00:11
Sampling  67%|████████████████████████████▎             |  ETA: 0:00:11
Sampling  68%|████████████████████████████▍             |  ETA: 0:00:11
Sampling  68%|████████████████████████████▋             |  ETA: 0:00:11
Sampling  69%|████████████████████████████▊             |  ETA: 0:00:11
Sampling  69%|█████████████████████████████             |  ETA: 0:00:11
Sampling  70%|█████████████████████████████▎            |  ETA: 0:00:10
Sampling  70%|█████████████████████████████▍            |  ETA: 0:00:10
Sampling  70%|█████████████████████████████▋            |  ETA: 0:00:10
Sampling  71%|█████████████████████████████▊            |  ETA: 0:00:10
Sampling  71%|██████████████████████████████            |  ETA: 0:00:10
Sampling  72%|██████████████████████████████▏           |  ETA: 0:00:10
Sampling  72%|██████████████████████████████▍           |  ETA: 0:00:09
Sampling  73%|██████████████████████████████▋           |  ETA: 0:00:09
Sampling  73%|██████████████████████████████▊           |  ETA: 0:00:09
Sampling  74%|███████████████████████████████           |  ETA: 0:00:09
Sampling  74%|███████████████████████████████▏          |  ETA: 0:00:09
Sampling  75%|███████████████████████████████▍          |  ETA: 0:00:09
Sampling  75%|███████████████████████████████▌          |  ETA: 0:00:08
Sampling  76%|███████████████████████████████▊          |  ETA: 0:00:08
Sampling  76%|████████████████████████████████          |  ETA: 0:00:08
Sampling  77%|████████████████████████████████▏         |  ETA: 0:00:08
Sampling  77%|████████████████████████████████▍         |  ETA: 0:00:08
Sampling  77%|████████████████████████████████▌         |  ETA: 0:00:08
Sampling  78%|████████████████████████████████▊         |  ETA: 0:00:07
Sampling  78%|████████████████████████████████▉         |  ETA: 0:00:07
Sampling  79%|█████████████████████████████████▏        |  ETA: 0:00:07
Sampling  79%|█████████████████████████████████▍        |  ETA: 0:00:07
Sampling  80%|█████████████████████████████████▌        |  ETA: 0:00:07
Sampling  80%|█████████████████████████████████▊        |  ETA: 0:00:07
Sampling  81%|█████████████████████████████████▉        |  ETA: 0:00:06
Sampling  81%|██████████████████████████████████▏       |  ETA: 0:00:06
Sampling  82%|██████████████████████████████████▎       |  ETA: 0:00:06
Sampling  82%|██████████████████████████████████▌       |  ETA: 0:00:06
Sampling  83%|██████████████████████████████████▊       |  ETA: 0:00:06
Sampling  83%|██████████████████████████████████▉       |  ETA: 0:00:06
Sampling  84%|███████████████████████████████████▏      |  ETA: 0:00:05
Sampling  84%|███████████████████████████████████▎      |  ETA: 0:00:05
Sampling  84%|███████████████████████████████████▌      |  ETA: 0:00:05
Sampling  85%|███████████████████████████████████▋      |  ETA: 0:00:05
Sampling  85%|███████████████████████████████████▉      |  ETA: 0:00:05
Sampling  86%|████████████████████████████████████▏     |  ETA: 0:00:05
Sampling  86%|████████████████████████████████████▎     |  ETA: 0:00:04
Sampling  87%|████████████████████████████████████▌     |  ETA: 0:00:04
Sampling  87%|████████████████████████████████████▋     |  ETA: 0:00:04
Sampling  88%|████████████████████████████████████▉     |  ETA: 0:00:04
Sampling  88%|█████████████████████████████████████     |  ETA: 0:00:04
Sampling  89%|█████████████████████████████████████▎    |  ETA: 0:00:04
Sampling  89%|█████████████████████████████████████▍    |  ETA: 0:00:04
Sampling  90%|█████████████████████████████████████▋    |  ETA: 0:00:03
Sampling  90%|█████████████████████████████████████▉    |  ETA: 0:00:03
Sampling  91%|██████████████████████████████████████    |  ETA: 0:00:03
Sampling  91%|██████████████████████████████████████▎   |  ETA: 0:00:03
Sampling  91%|██████████████████████████████████████▍   |  ETA: 0:00:03
Sampling  92%|██████████████████████████████████████▋   |  ETA: 0:00:03
Sampling  92%|██████████████████████████████████████▊   |  ETA: 0:00:02
Sampling  93%|███████████████████████████████████████   |  ETA: 0:00:02
Sampling  93%|███████████████████████████████████████▎  |  ETA: 0:00:02
Sampling  94%|███████████████████████████████████████▍  |  ETA: 0:00:02
Sampling  94%|███████████████████████████████████████▋  |  ETA: 0:00:02
Sampling  95%|███████████████████████████████████████▊  |  ETA: 0:00:02
Sampling  95%|████████████████████████████████████████  |  ETA: 0:00:02
Sampling  96%|████████████████████████████████████████▏ |  ETA: 0:00:01
Sampling  96%|████████████████████████████████████████▍ |  ETA: 0:00:01
Sampling  97%|████████████████████████████████████████▋ |  ETA: 0:00:01
Sampling  97%|████████████████████████████████████████▊ |  ETA: 0:00:01
Sampling  98%|█████████████████████████████████████████ |  ETA: 0:00:01
Sampling  98%|█████████████████████████████████████████▏|  ETA: 0:00:01
Sampling  98%|█████████████████████████████████████████▍|  ETA: 0:00:00
Sampling  99%|█████████████████████████████████████████▌|  ETA: 0:00:00
Sampling  99%|█████████████████████████████████████████▊|  ETA: 0:00:00
Sampling 100%|██████████████████████████████████████████|  ETA: 0:00:00
Sampling 100%|██████████████████████████████████████████| Time: 0:00:32

  parameters      mean       std      mcse   ess_bulk   ess_tail      rhat   e ⋯
      Symbol   Float64   Float64   Float64    Float64    Float64   Float64     ⋯

           b    0.0498    0.0062    0.0005   172.0071   279.3448    1.0010     ⋯
           ā    0.0030    0.0032    0.0002   303.4035   542.0983    1.0000     ⋯
        a[1]    0.0007    0.0004    0.0000   160.0585   290.8747    1.0004     ⋯
        a[2]    0.0011    0.0005    0.0000   162.1442   285.6050    1.0004     ⋯
        a[3]    0.0019    0.0008    0.0001   168.3593   276.0461    1.0009     ⋯
           c    0.0081    0.0025    0.0002   180.2294   274.7454    1.0005     ⋯
           k    1.9699    0.9270    0.0440   354.5814   362.3854    0.9991     ⋯
                                                                1 column omitted

PRECIS(DataFrame(chain4))

risk_factors4 = [mean(chain4[Symbol("a[$f]")]) for f in 1:3]

3-element Vector{Float64}:
 0.0007411869483965575
 0.0011369538569128979
 0.0019479084625641859

let data = data2

    data_weight = data.exposures ./ sum(data.exposures)
    data_weight = .√(data_weight ./ maximum(data_weight) .* 20)
    color_i = data.risklevel

    p = scatter(
        data.att_age,
        data.fraction,
        markersize=data_weight,
        alpha=0.5,
        color=color_i,
        label="Experience data point (size indicates relative exposure quantity)",
        xlabel="age",
        ylim=(0.0, 0.25),
        ylabel="mortality rate",
        title="Parametric Bayseian Mortality"
    )


    # show n samples from the posterior plotted on the graph
    n = 100

    ages = sort!(unique(data.att_age))
    for r in 1:3
        for i in 1:n
            s = sample(chain4, 1)
            a = only(s[Symbol("a[$r]")])
            b = only(s[:b])
            k = only(s[:k])
            c = 0
            m = MortalityTables.MakehamBeard(; a, b, c, k)
            if i == 1
                plot!(ages, age -> MortalityTables.hazard(m, age), label="risk level $r", alpha=0.2, color=r)
            else
                plot!(ages, age -> MortalityTables.hazard(m, age), label="", alpha=0.2, color=r)
            end
        end
    end
    p
end

Predictions

We can generate predictive estimates by passing a vector of missing in place of the outcome variables and then calling predict.

We get a table of values where each row is the the prediction implied by the corresponding chain sample, and the columns are the predicted value for each of the outcomes in our original dataset.

preds = predict(mortality4(data2, fill(missing, length(data2.deaths))), chain4)

Chains MCMC chain (1000×533×1 Array{Float64, 3}):

Iterations        = 1:1:1000
Number of chains  = 1
Samples per chain = 1000
parameters        = deaths[1], deaths[2], deaths[3], deaths[4], deaths[5], deaths[6], deaths[7], deaths[8], deaths[9], deaths[10], deaths[11], deaths[12], deaths[13], deaths[14], deaths[15], deaths[16], deaths[17], deaths[18], deaths[19], deaths[20], deaths[21], deaths[22], deaths[23], deaths[24], deaths[25], deaths[26], deaths[27], deaths[28], deaths[29], deaths[30], deaths[31], deaths[32], deaths[33], deaths[34], deaths[35], deaths[36], deaths[37], deaths[38], deaths[39], deaths[40], deaths[41], deaths[42], deaths[43], deaths[44], deaths[45], deaths[46], deaths[47], deaths[48], deaths[49], deaths[50], deaths[51], deaths[52], deaths[53], deaths[54], deaths[55], deaths[56], deaths[57], deaths[58], deaths[59], deaths[60], deaths[61], deaths[62], deaths[63], deaths[64], deaths[65], deaths[66], deaths[67], deaths[68], deaths[69], deaths[70], deaths[71], deaths[72], deaths[73], deaths[74], deaths[75], deaths[76], deaths[77], deaths[78], deaths[79], deaths[80], deaths[81], deaths[82], deaths[83], deaths[84], deaths[85], deaths[86], deaths[87], deaths[88], deaths[89], deaths[90], deaths[91], deaths[92], deaths[93], deaths[94], deaths[95], deaths[96], deaths[97], deaths[98], deaths[99], deaths[100], deaths[101], deaths[102], deaths[103], deaths[104], deaths[105], deaths[106], deaths[107], deaths[108], deaths[109], deaths[110], deaths[111], deaths[112], deaths[113], deaths[114], deaths[115], deaths[116], deaths[117], deaths[118], deaths[119], deaths[120], deaths[121], deaths[122], deaths[123], deaths[124], deaths[125], deaths[126], deaths[127], deaths[128], deaths[129], deaths[130], deaths[131], deaths[132], deaths[133], deaths[134], deaths[135], deaths[136], deaths[137], deaths[138], deaths[139], deaths[140], deaths[141], deaths[142], deaths[143], deaths[144], deaths[145], deaths[146], deaths[147], deaths[148], deaths[149], deaths[150], deaths[151], deaths[152], deaths[153], deaths[154], deaths[155], deaths[156], deaths[157], deaths[158], deaths[159], deaths[160], deaths[161], deaths[162], deaths[163], deaths[164], deaths[165], deaths[166], deaths[167], deaths[168], deaths[169], deaths[170], deaths[171], deaths[172], deaths[173], deaths[174], deaths[175], deaths[176], deaths[177], deaths[178], deaths[179], deaths[180], deaths[181], deaths[182], deaths[183], deaths[184], deaths[185], deaths[186], deaths[187], deaths[188], deaths[189], deaths[190], deaths[191], deaths[192], deaths[193], deaths[194], deaths[195], deaths[196], deaths[197], deaths[198], deaths[199], deaths[200], deaths[201], deaths[202], deaths[203], deaths[204], deaths[205], deaths[206], deaths[207], deaths[208], deaths[209], deaths[210], deaths[211], deaths[212], deaths[213], deaths[214], deaths[215], deaths[216], deaths[217], deaths[218], deaths[219], deaths[220], deaths[221], deaths[222], deaths[223], deaths[224], deaths[225], deaths[226], deaths[227], deaths[228], deaths[229], deaths[230], deaths[231], deaths[232], deaths[233], deaths[234], deaths[235], deaths[236], deaths[237], deaths[238], deaths[239], deaths[240], deaths[241], deaths[242], deaths[243], deaths[244], deaths[245], deaths[246], deaths[247], deaths[248], deaths[249], deaths[250], deaths[251], deaths[252], deaths[253], deaths[254], deaths[255], deaths[256], deaths[257], deaths[258], deaths[259], deaths[260], deaths[261], deaths[262], deaths[263], deaths[264], deaths[265], deaths[266], deaths[267], deaths[268], deaths[269], deaths[270], deaths[271], deaths[272], deaths[273], deaths[274], deaths[275], deaths[276], deaths[277], deaths[278], deaths[279], deaths[280], deaths[281], deaths[282], deaths[283], deaths[284], deaths[285], deaths[286], deaths[287], deaths[288], deaths[289], deaths[290], deaths[291], deaths[292], deaths[293], deaths[294], deaths[295], deaths[296], deaths[297], deaths[298], deaths[299], deaths[300], deaths[301], deaths[302], deaths[303], deaths[304], deaths[305], deaths[306], deaths[307], deaths[308], deaths[309], deaths[310], deaths[311], deaths[312], deaths[313], deaths[314], deaths[315], deaths[316], deaths[317], deaths[318], deaths[319], deaths[320], deaths[321], deaths[322], deaths[323], deaths[324], deaths[325], deaths[326], deaths[327], deaths[328], deaths[329], deaths[330], deaths[331], deaths[332], deaths[333], deaths[334], deaths[335], deaths[336], deaths[337], deaths[338], deaths[339], deaths[340], deaths[341], deaths[342], deaths[343], deaths[344], deaths[345], deaths[346], deaths[347], deaths[348], deaths[349], deaths[350], deaths[351], deaths[352], deaths[353], deaths[354], deaths[355], deaths[356], deaths[357], deaths[358], deaths[359], deaths[360], deaths[361], deaths[362], deaths[363], deaths[364], deaths[365], deaths[366], deaths[367], deaths[368], deaths[369], deaths[370], deaths[371], deaths[372], deaths[373], deaths[374], deaths[375], deaths[376], deaths[377], deaths[378], deaths[379], deaths[380], deaths[381], deaths[382], deaths[383], deaths[384], deaths[385], deaths[386], deaths[387], deaths[388], deaths[389], deaths[390], deaths[391], deaths[392], deaths[393], deaths[394], deaths[395], deaths[396], deaths[397], deaths[398], deaths[399], deaths[400], deaths[401], deaths[402], deaths[403], deaths[404], deaths[405], deaths[406], deaths[407], deaths[408], deaths[409], deaths[410], deaths[411], deaths[412], deaths[413], deaths[414], deaths[415], deaths[416], deaths[417], deaths[418], deaths[419], deaths[420], deaths[421], deaths[422], deaths[423], deaths[424], deaths[425], deaths[426], deaths[427], deaths[428], deaths[429], deaths[430], deaths[431], deaths[432], deaths[433], deaths[434], deaths[435], deaths[436], deaths[437], deaths[438], deaths[439], deaths[440], deaths[441], deaths[442], deaths[443], deaths[444], deaths[445], deaths[446], deaths[447], deaths[448], deaths[449], deaths[450], deaths[451], deaths[452], deaths[453], deaths[454], deaths[455], deaths[456], deaths[457], deaths[458], deaths[459], deaths[460], deaths[461], deaths[462], deaths[463], deaths[464], deaths[465], deaths[466], deaths[467], deaths[468], deaths[469], deaths[470], deaths[471], deaths[472], deaths[473], deaths[474], deaths[475], deaths[476], deaths[477], deaths[478], deaths[479], deaths[480], deaths[481], deaths[482], deaths[483], deaths[484], deaths[485], deaths[486], deaths[487], deaths[488], deaths[489], deaths[490], deaths[491], deaths[492], deaths[493], deaths[494], deaths[495], deaths[496], deaths[497], deaths[498], deaths[499], deaths[500], deaths[501], deaths[502], deaths[503], deaths[504], deaths[505], deaths[506], deaths[507], deaths[508], deaths[509], deaths[510], deaths[511], deaths[512], deaths[513], deaths[514], deaths[515], deaths[516], deaths[517], deaths[518], deaths[519], deaths[520], deaths[521], deaths[522], deaths[523], deaths[524], deaths[525], deaths[526], deaths[527], deaths[528], deaths[529], deaths[530], deaths[531], deaths[532], deaths[533]
internals         = 

Use `describe(chains)` for summary statistics and quantiles.